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DE ALGEBRA LINEAL Y ESPACIOS VECTORIALES

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Enunciado 31

Sea V un espacio vectorial de dimensión impar mayor que 1, sobre R. Demostrar que todo operador lineal sobre V tiene un subespacio invariante distinto de V y de {0}.
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Enunciado 32

Sea A una matriz triangular superior. Considerando A como aplicación lineal, ¿cuales son los valores propios de Ar, siendo r un entero mayor o igual que 1?
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Enunciado 33

Sea A una matriz cuadrada de números complejos tal que Ar = I para algún entero positivo r, si \( \alpha \) es un valor propio de A, demostrar que \( \alpha^r = 1 \)
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Enunciado 34

Obtener una base en abanico para la aplicación lineal de C2 en C2 que tiene como representación matricial el siguiente operador:

    \( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\)
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Enunciado 35

Obtener una base en abanico para la aplicación lineal de C2 n C2 que tiene como representación matricial el siguiente operador:

    \( \begin{pmatrix} 1 & i \\ 1 & i \end{pmatrix}\)
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Enunciado 36

Utilizando bases en abanico dmostrar que la inversa de una matriz triangular regular (inversible) es también triangular. Concretamente, se ha de demostrar que si V es un espacio vectorial de dimensión finita y A un operador lineal inversible que opera sobre elementos de V y tal que {v1, …, vn} es una base en abanico para A, también es una base en abanico para A-1.
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Enunciado 37

Sea V = U+W un espacio vectorial y A : V → V un operador lineal. Demostrar que U y W son A-invariantes si y solo si AP1 = P1A, donde P1 es la proyección de V en U.
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Enunciado 38

Hallar el polinomio mínimo, m(t), de la siguiente matriz:
    \( A = \begin{pmatrix} \lambda & a \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}\)
Donde a es un número distinto de 0.
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Enunciado 39

Obtener el polinomio mínimo, m(t), de la matriz:
    \( A = \begin{pmatrix} \lambda & a & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}\)
Donde a es un número distinto de 0.
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Enunciado 40

Calcular el polinomio mínimo, m(t), de la matriz de orden 4:
    \( A = \begin{pmatrix} \lambda & a & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & a & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & a \\ 0 & 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}\)
Siendo a un número distinto de 0.
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Ejercicios resueltos de álgebra lineal y problemas resueltos de espacios vectoriales
 


tema escrito por: José Antonio Hervás