PROBLEMAS RESUELTOS
DE ESPACIOS VECTORIALES
ejercicios sobre algebra lineal, base y base dual, independencia lineal

Ver enunciado del ejercicio en:

Problemas de álgebra lineal

Estás en :
Matemáticas y Poesía >

Problemas resueltos

 
RESPUESTA DEL EJERCICIO 37

Condición necesaria para la invarianza .- veamos si del hecho de que U y W sean A-invariantes se desprende que AP1 = P1A. Para ello hacemos:
    \( v = u + w \; \left \{ \begin{array}{l} u \in U \\ \\ w \in W \end{array} \right | \; \left. \begin{array}{l} (AP_1)v = A(P_1)v = Au \\ \\ (P_1A)v = P_1(Au + Aw) = P_1(Au) = Au \end{array} \right \} \; P_1A = AP_1 \)
En el segundo desarrollo hemos empleado la condición de que U y W son A-invariantes. De ahí se entiende que P1(Aw) = 0 puesto que Aw pertenece a W.

Condición suficiente para la invarianza .- Sabemos ahora que \( AP_1 = P_1A \) y tenemos que demostrar que U y W son A-invariantes:
    \(\begin{array}{l} u \in U \; \rightarrow \; Au = (AP_1)u = (P_1A)u \; \rightarrow \; U \; A-invariante \\  \\ w \in W \; \rightarrow \; P_1(Aw) = A(P_1w) = A(0) = 0 \; \rightarrow \\  \\ \rightarrow \; Aw \in W \rightarrow \; W \; A-invariante \end{array}\)
Y queda demostrado lo que nos proponíamos.
Ejercicios resueltos de álgebra lineal - problemas resueltos de espacios vectoriales


tema escrito por: José Antonio Hervás