PROBLEMAS RESUELTOS
DE ESPACIOS VECTORIALES
ejercicios sobre algebra lineal, base y base dual, independencia lineal

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Problemas de álgebra lineal

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RESPUESTA DEL EJERCICIO 35

Para obtener la base en abanico pedida, lo primero que tenemos que hacer es encontrar los valores propios de la matriz. Tenemos:
    \(\begin{array}{l}
    |A - \lambda I | = (1 - \lambda)(i - \lambda) = \lambda ^2 - (i+) \lambda = 0 \; \rightarrow \; \\
     \\
    \rightarrow \lambda_1 = 0 \; ; \; \lambda_2 = 1+i
    \end{array} \)
Los vectores propios que obtenemos son:
    \(\begin{pmatrix} 1 & i \\ 1 & i \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0 \rightarrow x+i\,y = 0 \rightarrow x = -i\,y \rightarrow v_1 = (1, -i) \)

    \(\begin{pmatrix} -i & i \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0 \rightarrow x-y = 0 \rightarrow x = y \rightarrow v_2 = (1, -1) \)
La matriz P de cambio será entonces:
    \(P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -i & 1 \end{pmatrix} \rightarrow P^{-1} = \begin{pmatrix} (1-i) /2 & -(1-i)/2 \\ (1+i)/2 & (1-i)/2 \end{pmatrix} \)
Con lo que resulta:
    \(P^{-1}\, A\, P = \begin{pmatrix} (1-i) /2 & -(1-i)/2 \\ (1+i)/2 & (1-i)/2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & i \\ 1 & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -i & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1+i \end{pmatrix}\)
Al tener una matriz diagonal resulta que también tenemos una matriz triangular superior y, por lo tanto, referida a una base en abanico.
Ejercicios resueltos de álgebra lineal - problemas resueltos de espacios vectoriales


tema escrito por: José Antonio Hervás