PROBLEMAS RESUELTOS
DE ESPACIOS VECTORIALES
ejercicios sobre algebra lineal, base y base dual, independencia lineal

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Problemas de álgebra lineal

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RESPUESTA DEL EJERCICIO 32

Si A es una matriz triangular superior tendría la forma:
    \(A = \begin{pmatrix} a_{11} & иии & a_{1n}\\ \\ 0 & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & a_{nn} \end{pmatrix} \)
Y su polinomio característico será:
    \(|A - \lambda \, I| = (a_{11} - \lambda) иии (a_{nn} - \lambda)\)
Con lo que los valores propios de la matriz A son todos los aii.
Por otro lado tenemos que si \( \lambda \) es un valor propio de A entonces \( \lambda^2 \) es un valor propio de A².
    \(Av = \lambda v \; \rightarrow \; A^2 v = A(Av) = A(\lambda v) = \lambda \, Av = \lambda^2 v\)
Supongamos ahora que \( a_{ii}^{r-1} \) es un valor propio de \( A^{r-1} \), tenemos:
    \(A^r v = A\left(A^{r-1} v \right) = A\left(a_{ii}^{r-1} v \right) = a_{ii}^{r-1} \, A v = a_{ii}^r \, v\)
Y podemos decir que los valores propios de \( A^r \), son todos los \( a_{ii}^r \) .
Ejercicios resueltos de álgebra lineal - problemas resueltos de espacios vectoriales


tema escrito por: José Antonio Hervás