Obtener el polinomio mínimo, m(t), de la matriz:

\( A = \begin{pmatrix} \lambda & a & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}\)

Donde a es un número distinto de 0.

RESPUESTA DEL EJERCICIO 39

Calculamos el polinomio característico de la matriz del enunciado:

\(|A - \lambda I | = 0 \; \rightarrow \; P(t) = (t - \lambda)^3 \)

El polinomio mínimo podrá ser, entonces alguno de los siguientes:

\(m_1(t) = (t - \lambda) \; \; ; \; \; m_2(t) = (t - \lambda)^2 \; \; ; \; \; m_3(t) = (t - \lambda)^3\)

Y se ha de cumplir m(A) = 0. Tenemos:

\(\begin{array}{l}
m_1(A) = (A - \lambda I) = \\
 \\
= \begin{pmatrix} \lambda & a & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & a & 0 \\ 0 & 0& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \neq 0
\end{array} \)

Continuando el análisis con los otros dos casos, llegamos a determinar que el polinomio mínimo de A es:

\( m_3(t) = (t - \lambda)^3\)