PROBLEMAS RESUELTOS
DE ESPACIOS VECTORIALES
ejercicios sobre algebra lineal, base y base dual, independencia lineal

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Problemas de álgebra lineal

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RESPUESTA DEL EJERCICIO 38

Calculamos el polinomio característico de la matriz dada:
    \(|A - \lambda I | = 0 \; \rightarrow \; P(t) = ( \lambda - t)^2 = (-1)^2 (t - \lambda)^2 = (t - \lambda)^2 \)
El polinomio mínimo podrá ser, entonces alguno de los siguientes:
    \(m_1(t) = (t - \lambda) \; \; ; \; \; m_2(t) = (t - \lambda)^2 \)
Y se ha de cumplir m(A) = 0. Tenemos:
    \(m_1(A) = (A - \lambda I) = \begin{pmatrix} \lambda & a \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0& a \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq 0 \)
Puesto que m1(t) no es el polinomio mínimo, lo será necesariamente m2(t). Lo comprobamos:
    \( \begin{array}{l} m_2(A) = (A - \lambda I)^2 = \left[ \begin{pmatrix} \lambda & a \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} \right]^2 =\\  \\ = \begin{pmatrix} 0& a \\ 0 & 0 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 0& 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{array}\)
Ejercicios resueltos de álgebra lineal - problemas resueltos de espacios vectoriales


tema escrito por: José Antonio Hervás