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DE ALGEBRA LINEAL Y ESPACIOS VECTORIALES

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Enunciado 1

Dado el espacio vectorial R2, una base del mismo (e1, e2) y la de su dual \( (e_1^\ast , e_2^\ast )\), se introduce un cambio de base en la siguiente forma:
    \(v = e_1 - e_2 \; \; ; \; \; w = e_1 - 4e_2 \)
Obtener la base dual de (v, w) en función de la \( (e_1^\ast , e_2^\ast )\).
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Enunciado 2

Siendo x = (x1, x2) un vector cualquiera de R2, en dicho espacio vectorial se definen las aplicaciones lineales:
    \(f(x) = 2x_1 + x_2 \; \; ; \; \; g(x) = x_1 + x_2 \)
Estudiar si forman una base del dual de R2 y hallar la base de R2 de la que son dual.
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Enunciado 3

Sea la aplicación t : \(t \; : \; R_3 \rightarrow R_2 \) definida en bases canónicas por :
    núcleo \((t) \equiv x_1 + x_2 = 0 \; \; ; \; \; t(1, 0, 1) = (1, 1)\)
Obtener la matriz de la aplicación t en bases canónicas.
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Enunciado 4

Un endomorfismo de R3 en las bases canónicas viene dado por la matriz:
    \(T = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 2 \\ 1 & -2 & 3 \\ -1 & -1 & 5 \end{pmatrix}\)
Obtener la matriz referida a la base (1,1, 2), (0, 2, 1), (0, 0, 5)
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Enunciado 5

Sea \( f \in L(E, M) \) y \( f^t \) su aplicación dual. Demostrar:
a) f es inyectiva si y solo si f t es exhaustiva
b) f es exhaustiva si y solo si f t es inyectiva.
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Enunciado 6

Demostrar que si los vectores x1, x2, x3 forman un sistema libre, también forman un sistema libre los vectores (x1+x2), (x1+x3), (x2+x3)
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Enunciado 7

Demostrar que si el sistema formado por los vectores x1, x2, …, xn es libre, también lo es el formado por los vectores:
    \(\begin{array}{l} y_1 = x_1 \\ \\ y_2 = x_1 + x_2 \\ \\ · \; · \; · \\ y_n = x_1 + x_2 + ··· + x_n \end{array}\)
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Enunciado 8

¿Puede constituir el sistema v1 = (1, 2, 3) ; v2 = (2, -1, 0) ; v3 = (1, 1, 0) una base de R3?
Suponiendo que sea cierto lo anterior, calcular las coordenadas del vector (2, 4, 6) en dicha base.
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Enunciado 9

¿Pertenece el vector v = (2, 4, 2) al subespacio engendrado por los vectores \( v_1 = (1, 2, 3) \) ; \( v_2 = (1, 0, -1) \) ?.
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Enunciado 10

Indicar si los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales de R4
    \(\begin{array}{l}
    V = \{ (x, y, z, t) \in R^4 \; / \; x = y = z = t \} \\
     \\
    V = \{ (x, y, z, t) \in R^4 \; / \; y = 2x \; ; \; t = x + z \}
    \end{array}\)
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Ejercicios resueltos de álgebra lineal y y problemas resueltos de espacios vectoriales


tema escrito por: José Antonio Hervás