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DE ALGEBRA LINEAL Y ESPACIOS VECTORIALES

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Enunciado 11

Determinar los parámetros \( \lambda \,, \rho \) tales que el vector \(( \lambda \,, \rho \,, -37\,, -3) \) pertenezca al subespacio de R4 engendrado por los vectores:
    \( v_1 = (1, 2, -5, -3) ; v_2 = (2, -1, 4, 7) \)
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Enunciado 12

Sea E un espacio vectorial sobre R y sea {u, v} una base de E. Se pide demostrar que los vectores z = u + v ; t = u – v constituyen una base de E y descomponer el vector v = 3u – 5w en la base formada por los vectores z, t.
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Enunciado 13

En el espacio vectorial V3, sobre el cuerpo de los números reales, se consideran los vectores \( a = (1, 0, 1) \) ; \( b = (0, 0, 1) \) ; \( c = (1, 0, 0) \) . Hallar la dimensión, las ecuaciones paramétricas y las ecuaciones cartesianas de la variedad lineal (subespacio) engendrado por los vectores \( \{a, b, c \} \) .
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Enunciado 14

Dado el endomorfismo t de R³ definido por:
    Núcleo de \( t = x_1 + x_2 = 0 \; ; \; t(0, 1, 0) = (-1, 1, -2) \)
Hallar la matriz que lo define en base canónica siendo \( x = (x_1, x_2, x_3) \)un vector genérico de R³.
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Enunciado 15

Dado
    \(R^2 = [(2, 1)] \oplus [(2, -1)]= F \oplus G \)
Hallar la matriz del proyector de R² en F paralelamente a G y la matriz del proyector de R² en G paralelamente a F.
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Enunciado 16

Determinar la dimensión, una base y las ecuaciones cartesianas del subespacio vectorial engendrado por los vectores:
    \( \begin{array}{l} v_1 = (2, \; \; 3, \; \; 1 , \; \; 0 , \; \; 3) \\  \\ v_2 = (1, \; \; 0 , \; \; 1 , \; \; 1 , \; \; -3) \\  \\ v_3 = ( 3, \; \; 3 , \; \; 2 , \; \; 1 , \; \; 0 ) \end{array} \)
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Enunciado 17

Dado el sistema de generadores:
    \(v_1 = (2, \; \; 3, \; \; 1 , \; \; 0) \; \; ; \; \; v_2 = (1, \; \; 0 , \; \; 1 , \; \; 1)\; \; ; \; \; v_3 = ( 4, \; \; 0 , \; \; 0 , \; \; 0) \)
Determinar la dimensión del subespacio engendrado por dicho sistema y obtener una base y las ecuaciones cartesianas.
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Enunciado 18

Encontrar si existe aplicación lineal en la correspondencia:
    \(g\; : \; R^2 \; \rightarrow \; R^3 \; \; / \; \; g(x, y) = (x, y, 0)\)
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Enunciado 19

Determinar si la siguiente correspondencia es aplicación lineal
    \(h\; : \; R^3 \; \rightarrow \; R^3 \; \; / \; \; h(x, y, z) = (x+y, x+z, x+y)\)
Y obtener el núcleo de la aplicación si así fuera.
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Enunciado 20

Determinar si la siguiente correspondencia es aplicación lineal
    \(h\; : \; R^5 \; \rightarrow \; R \; \; / \; \; h(x, y, z, t, v) = (x+y+z+t+v)\)
Y obtener el núcleo de la aplicación en caso de que lo sea.
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Ejercicios resueltos de álgebra lineal y problemas resueltos de espacios vectoriales
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tema escrito por: José Antonio Hervás