PROBLEMAS RESUELTOS
DE ESPACIOS VECTORIALES
ejercicios sobre algebra lineal, base y base dual, independencia lineal

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RESPUESTA DEL EJERCICIO 34

Para obtener una base en abanico para la aplicación lineal del enunciado, lo primero que tenemos que hacer es encontrar los valores propios de la matriz asociada a la aplicación. Tenemos:
    \(|A - \lambda I | = (1 - \lambda)^2 - 1 = \lambda ^2 - 2 \lambda = 0 \; \rightarrow \; \lambda_1 = 0 \; ; \; \lambda_2 = 2 \)
Los vectores propios que obtenemos son:
    \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0 \rightarrow x+y = 0 \rightarrow x = -y \rightarrow v_1 = (1, -1) \)

    \(\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0 \rightarrow x-y = 0 \rightarrow x = y \rightarrow v_2 = (1, -1) \)
La matriz P de cambio será entonces:
    \(P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \rightarrow P^{-1} = \begin{pmatrix} 1/2 & -1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{pmatrix} \)
Con lo que resulta:
    \(P^{-1}\, A\, P = \begin{pmatrix} 1/2 & -1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\)
Que por ser una matriz diagonal es también triangular superior y, por lo tanto, está referida a una base en abanico.
Ejercicios resueltos de álgebra lineal - problemas resueltos de espacios vectoriales


tema escrito por: José Antonio Hervás