Sea V un espacio vectorial de dimensión impar mayor que 1, sobre R. Demostrar que todo operador lineal sobre V tiene un subespacio invariante distinto de V y de {0}.

RESPUESTA DEL EJERCICIO 31

Si V es un espacio vectorial de dimensión impar, existe al menos un valor propio real, puesto que los valores propios complejos se presentan por parejas de conjugados. Podemos poner, según eso:

\( \exists \, x \neq 0 \; | \; A(x) = \lambda x\)

Siendo \( \lambda \) el valor propio considerado.
En esas condiciones existe el subespacio propio \( V(\lambda) \) asociado a \( \lambda \) que cumple:

\(v \in V(\lambda) \; \rightarrow \; Av = \lambda v \in V( \lambda) \rightarrow V(\lambda) \; es \; A- invariante\)

Pueden presentarse dos casos:

\( \begin{array}{l} \textrm{Si } Dim \; V(\lambda) < Dim \; V \rightarrow \\ \rightarrow V(\lambda) \, es \; A-invariante \; ; \; V(\lambda) \neq V \; ; \; V(\lambda) \neq \{0 \}\\ \\ \textrm{Si} Dim \; V(\lambda) = Dim \; V \rightarrow V(\lambda) = V \rightarrow A = \lambda I \end{array}\)

Tomamos entonces un subespacio cualquiera V’, distinto de cero, que existe, por ser la dimensión de V impar y mayor que 1, y ponemos:

\(\begin{array}{l} \forall v' \neq 0 \; , \; v' \in V\, ' \rightarrow \\  \\ \rightarrow Av' = \lambda I v' = \lambda v' \in V\,' \rightarrow V\,' \; es \; A-invariante \end{array} \)

Y hemos demostrado lo solicitado en el enunciado.