PROBLEMAS RESUELTOS
DE ESPACIOS VECTORIALES
ejercicios sobre algebra lineal, base y base dual, independencia lineal

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Problemas de álgebra lineal

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RESPUESTA DEL EJERCICIO 36

Vamos a demostrar que la inversa de una matriz triangular inversible es también una matriz triangular Consideremos que la matriz es triangular superior:
    \(A = \begin{pmatrix} a_{11} & иии & a_{1n}\\ \\ 0 & \ddots & \vdots \\ \\0 & 0 & a_{nn} \end{pmatrix} \)
Puesto que A es inversible se tiene todos y cada uno de los elementos de la diagonal principal son distintos de cero.

Por otro lado, si la base es en abanico, podemos poner:
    \( A v_1 = a_{11} \, v_1\)

    \( A v_i = a_{1i} \, v_1 + иии + a_{ii} \, v_i \;\; ( 1 \leq i \leq n) \)
Y considerando la primera de las ecuaciones:
    \(\displaystyle A v_1 = a_{11} \, v_1 \rightarrow v_1 = a_{11} \,A^{-1} v_1 \rightarrow A^{-1} v_1 = \frac{1}{a_{11} } \, v_1\)
De modo análogo, podemos continuar con el resto de las ecuaciones para llegar finalmente a:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} A^{-1} v_2 = \frac{a_{12}}{a_{11} \, a_{22}} \, v_1 + \frac{1}{a_{22} } \, v_2 \; \; ; \; \; A^{-1} v_n = \\  \\ = \frac{a_{1n}}{a_{11} \, a_{nn}} \, v_1 + иии + \frac{1}{a_{nn} } \, v_n \end{array} \)
Conociendo las imágenes de los vectores de la base dada obtenemos una matriz triangular de la forma:
    \(A^{-1} = \begin{pmatrix} 1/a_{11} & иии & иии \\ \\ 0 & \ddots & \vdots \\ \\ 0 & 0 & 1/ a_{nn} \end{pmatrix} \)
Y hemos demostrado lo que nos proponíamos.
Ejercicios resueltos de álgebra lineal - problemas resueltos de espacios vectoriales


tema escrito por: José Antonio Hervás