PROBLEMAS RESUELTOS
DE ESPACIOS VECTORIALES
ejercicios sobre algebra lineal, base y base dual, independencia lineal

Ver enunciado del ejercicio en:

Problemas de álgebra lineal

Estás en :
Matemáticas y Poesía >

Problemas resueltos

 
RESPUESTA DEL EJERCICIO 40

Sabemos que el polinomio mínimo es divisor del polinomio característico. Calculamos, entonces, el polinomio característico de la matriz dada:
    \(|A - \lambda I | = 0 \; \rightarrow \; P(t) = (t - \lambda)^4 \)
De ahí resulta que el polinomio mínimo ha de ser alguno de los siguientes:
    \(\begin{array}{l} m_1(t) = (t - \lambda) \; \; ; \; \; m_2(t) = (t - \lambda)^2 \\  \\ \; m_3(t) = (t - \lambda)^3 \; \; ; \; \; m_4(t) = (t - \lambda)^4 \end{array}\)
Y se ha de cumplir m(A) = 0. Tenemos:
    \(m_1(A) = (A - \lambda I) = \)
    \( = \begin{pmatrix} \lambda & a & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & a & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & a \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & a & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a \end{pmatrix} \neq 0 \)
Y continuando:
    \(m_2(A) = (A - \lambda I)^2 = \)
    \( = \left[ \begin{pmatrix} \lambda & a & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & a & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & a \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix} \right]^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & a^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a^2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \neq 0 \)
Continuando el análisis con los otros dos polinomios, obtenemos que el polinomio mínimo de A es:
    \( m_3(t) = (t - \lambda)^4\)
Ejercicios resueltos de álgebra lineal - problemas resueltos de espacios vectoriales


tema escrito por: José Antonio Hervás