RESPUESTA
DEL EJERCICIO 5
a) Demostramos que si f es inyectiva entonces f
t es
exhaustiva. El que f sea inyectiva equivale a decir que núcleo
de f = {0}, con lo cual:
\(\overline{Nuc \; f} = \overline{ \{ 0 \}} = E^\ast \)
pero, por la definición de anulador de un subespacio H de
E, sabemos que se tiene:
\(\overline{Nuc \; f} = \textrm{Im } f^t\)
por lo que resultará:
\( \textrm{Im } f^t = E^\ast \Rightarrow f^t \) exhaustiva
Demostrar que si f
t es exhaustiva entonces f es inyectiva
puede hacerse análogamente.
b) Demostramos que si f es exhaustiva entonces f
t es
inyectiva. Si f es exhaustiva se tiene Im f = F y podemos poner:
\(\overline{Im \; f} = \overline{ F } = \{ 0 \} \)
pero se tiene \( \overline{Im \; f} = Nuc \; f^t \) que por lo que
resulta:
\(Nuc \; f^t = \{ 0 \} \Rightarrow f^t \) Inyectiva
Para demostrar el recíproco se hace de forma análoga.