PROBLEMAS RESUELTOS
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ESPACIOS VECTORIALES

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Ejercicios resueltos de álgebra lineal

 
RESPUESTA DEL EJERCICIO 5

a) Demostramos que si f es inyectiva entonces f t es exhaustiva. El que f sea inyectiva equivale a decir que núcleo de f = {0}, con lo cual:
    \(\overline{Nuc \; f} = \overline{ \{ 0 \}} = E^\ast \)
pero, por la definición de anulador de un subespacio H de E, sabemos que se tiene:
    \(\overline{Nuc \; f} = \textrm{Im } f^t\)
por lo que resultará:
    \( \textrm{Im } f^t = E^\ast \Rightarrow f^t \) exhaustiva
Demostrar que si ft es exhaustiva entonces f es inyectiva puede hacerse análogamente.

b) Demostramos que si f es exhaustiva entonces ft es inyectiva. Si f es exhaustiva se tiene Im f = F y podemos poner:
    \(\overline{Im \; f} = \overline{ F } = \{ 0 \} \)
pero se tiene \( \overline{Im \; f} = Nuc \; f^t \) que por lo que resulta:
    \(Nuc \; f^t = \{ 0 \} \Rightarrow f^t \) Inyectiva
Para demostrar el recíproco se hace de forma análoga.
Ejercicios resueltos de álgebra lineal - problemas resueltos de espacios vectoriales


tema escrito por: José Antonio Hervás