Sea \( f \in L(E, M) \) y \( f^t \) su aplicación dual. Demostrar:

a) f es inyectiva si y solo si f ^t es exhaustiva
b) f es exhaustiva si y solo si f ^t es inyectiva.

RESPUESTA DEL EJERCICIO 5

a) Demostramos que si f es inyectiva entonces f ^t es exhaustiva. El que f sea inyectiva equivale a decir que núcleo de f = {0}, con lo cual:

\(\overline{Nuc \; f} = \overline{ \{ 0 \}} = E^\ast \)

pero, por la definición de anulador de un subespacio H de E, sabemos que se tiene:

\(\overline{Nuc \; f} = \textrm{Im } f^t\)

por lo que resultará:

\( \textrm{Im } f^t = E^\ast \Rightarrow f^t \) exhaustiva

Demostrar que si f^t es exhaustiva entonces f es inyectiva puede hacerse análogamente.

b) Demostramos que si f es exhaustiva entonces f^t es inyectiva. Si f es exhaustiva se tiene Im f = F y podemos poner:

\(\overline{Im \; f} = \overline{ F } = \{ 0 \} \)

pero se tiene \( \overline{Im \; f} = Nuc \; f^t \) que por lo que resulta:

\(Nuc \; f^t = \{ 0 \} \Rightarrow f^t \) Inyectiva

Para demostrar el recíproco se hace de forma análoga.