Sea su aplicación dual. Demostrar:

a) f es inyectiva si y solo si f ^t es exhaustiva
b) f es exhaustiva si y solo si f ^t es inyectiva.

RESPUESTA DEL EJERCICIO 5

a) Demostramos que si f es inyectiva entonces f ^t es exhaustiva. El que f sea inyectiva equivale a decir que núcleo de f = {0}, con lo cual:



pero, por la definición de anulador de un subespacio H de E, sabemos que se tiene:



por lo que resultará:



Demostrar que si f^t es exhaustiva entonces f es inyectiva puede hacerse análogamente.

b) Demostramos que si f es exhaustiva entonces f^t es inyectiva. Si f es exhaustiva se tiene Im f = F y podemos poner:



pero se tiene que por lo que resulta:



Para demostrar el recíproco se hace de forma análoga.