Sea
su aplicación dual. Demostrar:
a) Demostramos que si f es inyectiva entonces f t es exhaustiva. El que f sea inyectiva equivale a decir que núcleo de f = {0}, con lo cual:
pero, por la definición de anulador de un subespacio H de E, sabemos que se tiene:
por lo que resultará:
Demostrar que si ft es exhaustiva entonces f es inyectiva puede hacerse análogamente.
b) Demostramos que si f es exhaustiva entonces ft es inyectiva. Si f es exhaustiva se tiene Im f = F y podemos poner:
pero se tiene
que
por lo que resulta:
Para demostrar el recíproco se hace de forma análoga.
su aplicación dual. Demostrar:a) f es inyectiva si y solo si f t es exhaustivaRESPUESTA 5
b) f es exhaustiva si y solo si f t es inyectiva.
a) Demostramos que si f es inyectiva entonces f t es exhaustiva. El que f sea inyectiva equivale a decir que núcleo de f = {0}, con lo cual:
pero, por la definición de anulador de un subespacio H de E, sabemos que se tiene:
por lo que resultará:
Demostrar que si ft es exhaustiva entonces f es inyectiva puede hacerse análogamente.
b) Demostramos que si f es exhaustiva entonces ft es inyectiva. Si f es exhaustiva se tiene Im f = F y podemos poner:
pero se tiene
que
por lo que resulta:Para demostrar el recíproco se hace de forma análoga.