PROBLEMAS RESUELTOS
DE ESPACIOS VECTORIALES
ejercicios sobre algebra lineal, base y base dual, independencia lineal

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Problemas de álgebra lineal

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RESPUESTA DEL EJERCICIO 3

Observamos, en primer lugar que el núcleo de t ha de tener dimensión 2 puesto que viene dado por una sola ecuación y se ha de cumplir la relación:
Dim R3 – Dim núcleo de t = número de ecuaciones cartesianas que definen a núcleo de t
Según eso, podemos tomar dos vectores tales que sus coordenadas cumplan x1 + x2 = 0 y formar con ellos una base de núcleo de t. Sean, por ejemplo los vectores (1, -1, 1) y (1, -1, 2). Puesto que la aplicación está definida en bases canónicas, podemos escribir:
    \( \begin{array}{l} t(1, 0, 1) & = & t(1, 0, 0) & & + t(0, 0, 1) & = & (1, 1) \\ \\ t(1, -1, 1) & = & t(1, 0, 0) & - t(0, 1, 0) & + t(0, 0, 1) & = & (0, 0) \\ \\ t(1, -1, 2) & = & t(1, 0, 0) & - t(0, 1, 0) & + 2t(0, 0, 1) & = & (0, 0) \end{array} \)
Operando con las ecuaciones resultantes podemos obtener:
    \( \begin{array}{l} t(1, 0, 1) - t(1, -1, 1) & = t(0, 1, 0) = & (1, 1) \\ \\ t(1, -1, 2) - t(1, -1, 1) & = t(0, 0, 1) = & (0, 0) \\ \\ t(1, 0, 1) - t(1, -1, 1) - t(1, -1, 2) & = t(1, 0, 0) = & (1, 1) \end{array} \)
y la matriz de la aplicación en las bases canónicas será:
    \(M(t) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\)
Ejercicios resueltos de álgebra lineal - problemas resueltos de espacios vectoriales


tema escrito por: José Antonio Hervás