PROBLEMAS RESUELTOS
DE ESPACIOS VECTORIALES
ejercicios sobre algebra lineal, base y base dual, independencia lineal

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Problemas de álgebra lineal

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RESPUESTA DEL EJERCICIO 2

Para saber si las aplicaciones dadas forman una base del dual de R2, comprobamos que son linealmente independientes. Tenemos:
    \( \alpha \, f(x) + \beta \, g(x) = 0 \Rightarrow \alpha \, (2x_1 + x_2) + \beta \, (x_1 + x_2) = 0\)
Reagrupando términos tenemos:
    \(\begin{array}{l}
    (2 \alpha + \beta) x_1 + (\alpha + \beta) x_2 = 0 \Rightarrow [( (2 \alpha + \beta) \; , (\alpha + \beta)] \begin{pmatrix} x_1 \\ \\ x_2 \end{pmatrix} = 0 \\
     \\
    \; \; \left\{ \begin{array}{l} 2 \alpha + \beta =0 \\ \\ \alpha + \beta = 0 \end{array}\right.
    \end{array} \)
Y a partir de ahí, \( \; \; \alpha = 0 \, ; \, \beta = 0 \). Para obtener la base de R2 de la que son dual hacemos como en el ejercicio anterior:
    \( \begin{array}{l} \left. \begin{array}{l} f (v_1) = 1 \rightarrow (2x_1 + x_2)( \alpha \, e_1 + \beta \, e_2) = 2\alpha + \beta = 1 \\ \\ g(v_1) = 0 \rightarrow (x_1 + x_2)( \alpha \, e_1 + \beta \, e_2) = \alpha + \beta = 0 \end{array} \right| \\  \\ \; \; \alpha = 1 \, , \, \beta = - 1 \end{array} \)
y análogamente:
    \(\begin{array}{l} \left. \begin{array}{l} f (v_2) = 0 \rightarrow (2x_1 + x_2)( \alpha' \, e_1 + \beta' \, e_2) = 2\alpha + \beta = 0 \\ \\ g(v_2) = 1 \rightarrow (x_1 + x_2)( \alpha' \, e_1 + \beta' \, e_2) = \alpha' + \beta' = 1 \end{array} \right| \\  \\ \; \; \alpha' = -1 \, , \, \beta' = 2 \end{array}\)
con lo que tendremos: \( v_1 = (1, -1) \; ; \; v_2 = (-1, 2) \).
Ejercicios resueltos de álgebra lineal - problemas resueltos de espacios vectoriales
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tema escrito por: José Antonio Hervás