Siendo x = (x
1, x
2) un vector cualquiera
de R
2, en dicho espacio vectorial se definen las aplicaciones
lineales:
\(f(x) = 2x_1 + x_2 \; \; ; \; \; g(x) = x_1 + x_2 \)
Estudiar si forman una base del dual de R
2 y hallar
la base de R
2 de la que son dual.
RESPUESTA
DEL EJERCICIO 2
Para saber si las aplicaciones dadas forman una base del dual de
R
2, comprobamos que son linealmente independientes. Tenemos:
\( \alpha \, f(x) + \beta \, g(x) = 0 \Rightarrow \alpha \, (2x_1
+ x_2) + \beta \, (x_1 + x_2) = 0\)
Reagrupando términos tenemos:
\(\begin{array}{l}
(2 \alpha + \beta) x_1 + (\alpha + \beta) x_2 = 0 \Rightarrow
[( (2 \alpha + \beta) \; , (\alpha + \beta)] \begin{pmatrix}
x_1 \\ \\ x_2 \end{pmatrix} = 0 \\
\\
\; \; \left\{ \begin{array}{l} 2 \alpha + \beta =0 \\ \\ \alpha
+ \beta = 0 \end{array}\right.
\end{array} \)
Y a partir de ahí, \( \; \; \alpha = 0 \, ; \, \beta =
0 \). Para obtener la base de R
2 de la que son dual
hacemos como en el ejercicio anterior:
\( \begin{array}{l}
\left. \begin{array}{l} f (v_1) = 1 \rightarrow (2x_1 + x_2)( \alpha \, e_1 + \beta \, e_2) = 2\alpha + \beta = 1 \\ \\ g(v_1) = 0 \rightarrow (x_1 + x_2)( \alpha \, e_1 + \beta \, e_2) = \alpha + \beta = 0 \end{array} \right| \\
\\
\; \; \alpha = 1 \, , \, \beta = - 1
\end{array} \)
y análogamente:
\(\begin{array}{l}
\left. \begin{array}{l} f (v_2) = 0 \rightarrow (2x_1 + x_2)( \alpha' \, e_1 + \beta' \, e_2) = 2\alpha + \beta = 0 \\ \\ g(v_2) = 1 \rightarrow (x_1 + x_2)( \alpha' \, e_1 + \beta' \, e_2) = \alpha' + \beta' = 1 \end{array} \right| \\
\\
\; \; \alpha' = -1 \, , \, \beta' = 2
\end{array}\)
con lo que tendremos: \( v_1 = (1, -1) \; ; \; v_2 = (-1, 2) \).