PROBLEMAS RESUELTOS
DE ESPACIOS VECTORIALES
ejercicios sobre algebra lineal, base y base dual, independencia lineal

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Problemas de álgebra lineal

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Demostrar que si los vectores x1, x2, x3 forman un sistema libre, también forman un sistema libre los vectores (x1+x2), (x1+x3), (x2+x3)

RESPUESTA DEL EJERCICIO 6

El sistema de vectores dado es libre si la expresión:
    \(\alpha (x_1 + x_2) + \beta (x_1 + x_3) + \gamma (x_2 +x_3) = 0\)
Se cumple únicamente cuando los coeficientes \( \alpha, \beta, \gamma \) son todos iguales a cero. En caso contrario, el sistema es ligado. De ese modo, operando, tenemos:
    \(\begin{array}{l} \alpha (x_1 + x_2) + \beta(x_1 + x_3) + \gamma(x_2 + x_3) = \\  \\ = ( \alpha + \beta)x_1 + (\alpha + \gamma) x_2 + (\beta + \gamma) x_3 = 0 \end{array} \)
Como los vectores x1, x2, x3 son linealmente independientes, por hipótesis, los coeficientes deben ser todos nulos. De ese modo podemos plantear el siguiente sistema:
    \( ( \alpha + \beta) = 0 \; ; \; (\alpha + \gamma) = 0 \; ; \; (\beta + \gamma) = 0 \)
Tenemos un sistema homogéneo del que calculamos el rango de la matriz de los coeficientes:
    \(\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -2 \Rightarrow r = 3 \)
Al ser el rango de la matriz de los coeficientes igual al número de incógnitas, el sistema sólo admite como solución para ellas el valor nulo y, en consecuencia, los vectores dados forman un sistema libre.
Ejercicios resueltos de álgebra lineal - problemas resueltos de espacios vectoriales
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tema escrito por: José Antonio Hervás