Demostrar
que si los vectores x1, x2, x3 forman
un sistema libre, también forman un sistema libre los vectores
(x1+x2), (x1+x3), (x2+x3)
RESPUESTA 6
El sistema de vectores dado es libre si la expresión:
Se cumple únicamente cuando los coeficientes
son
todos iguales a cero. En caso contrario, el sistema es ligado. De ese
modo, operando, tenemos:
Como los vectores x1, x2, x3 son linealmente independientes, por hipótesis, los coeficientes deben ser todos nulos. De ese modo podemos plantear el siguiente sistema:
Tenemos un sistema homogéneo del que calculamos el rango de la matriz de los coeficientes:
Al ser el rango de la matriz de los coeficientes igual al número de incógnitas, el sistema sólo admite como solución para ellas el valor nulo y, en consecuencia, los vectores dados forman un sistema libre.
RESPUESTA 6
El sistema de vectores dado es libre si la expresión:
Se cumple únicamente cuando los coeficientes
son
todos iguales a cero. En caso contrario, el sistema es ligado. De ese
modo, operando, tenemos:Como los vectores x1, x2, x3 son linealmente independientes, por hipótesis, los coeficientes deben ser todos nulos. De ese modo podemos plantear el siguiente sistema:
Tenemos un sistema homogéneo del que calculamos el rango de la matriz de los coeficientes:
Al ser el rango de la matriz de los coeficientes igual al número de incógnitas, el sistema sólo admite como solución para ellas el valor nulo y, en consecuencia, los vectores dados forman un sistema libre.