PROBLEMAS RESUELTOS
DE ESPACIOS VECTORIALES
ejercicios sobre algebra lineal, base y base dual, independencia lineal

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Problemas de álgebra lineal

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RESPUESTA DEL EJERCICIO 4

La matriz de un endomorfismo depende de la base elegida, es decir, que si un operador tiene una matriz T en la base (e1, e2, …, en) entonces su matriz en otra base (u1, u2, …, un) es S-1.T.S, siendo S una matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores de la nueva base respecto de la antigua. En nuestro caso, la matriz T viene dada respecto a la base canónica, por lo que tendremos:
    \(S = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 5 \end{pmatrix} \; \; ; \; \; S^{-1} = \displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ \\ - \frac{3}{10}& - \frac{1}{10} & \frac{1}{5} \end{pmatrix}\)
Ya partir de ahí :
    \(T\, ' = S^{-1} \, T \, S = \displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\\\ - \frac{3}{10}& - \frac{1}{10} & \frac{1}{5} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} - 1 & -1 & 2 \\ 1 & -3 & 3 \\ -1 & -5 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 5 \end{pmatrix} \)
Y operando:
    \(T\, ' = \displaystyle S^{-1} \, T \, S =\begin{pmatrix} 0 & 0 & 10 \\ \\ 1 & - \frac{3}{2}& \frac{5}{2} \\ \\ - \frac{1}{5} & - \frac{7}{10}& \frac{1}{2} \end{pmatrix} \)
Ejercicios resueltos de álgebra lineal - problemas resueltos de espacios vectoriales


tema escrito por: José Antonio Hervás