PROBLEMAS RESUELTOS
DE ESPACIOS VECTORIALES
ejercicios sobre algebra lineal, base y base dual, independencia lineal

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Problemas de álgebra lineal

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RESPUESTA DEL EJERCICIO 7

Para que el sistema formado por los vectores \( y_i \) sea libre, se tiene que cumplir que sean nulos todos los coeficientes de la expresión:
    \(\alpha_1y_1 + \alpha_2 y_2 + \alpha_3 y_3 + иии + \alpha_n y_n = 0 \)
Sustituyendo cada \( y_i \) por su valor:
    \(\alpha_1 x_1 + \alpha_2 (x_1 + x_2) + иии + \alpha_n (x_1 + x_2 + x_3 + иии + x_n ) = 0 \)
Y reagrupando términos:
    \((\alpha_1 + \alpha_2 + иии + \alpha_n ) x_1 + ( \alpha_2 + иии + \alpha_n ) x_2 + иии + \alpha_n x_n = 0 \)
Con lo cual tenemos el sistema \( \{x_i \} \). Como dicho sistema es libre, se tiene:
    \( \begin{array}{r} \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + иии + \alpha_n = 0 \\ \\ \alpha_2 + \alpha_3 + иии + \alpha_n = 0 \\ \\ \alpha_3 + иии + \alpha_n = 0 \\ иии \; иии \\ \alpha_n = 0 \end{array} \)
Este sistema admite únicamente la solución \( \alpha_i = 0 \; \forall \; i \) y, por lo tanto, el conjunto \( \{y_i \} \) es un sistema libre.
Ejercicios resueltos de álgebra lineal - problemas resueltos de espacios vectoriales


tema escrito por: José Antonio Hervás