¿Puede
constituir el sistema v1 = (1, 2, 3) ; v2 = (2,
-1, 0) ; v3 = (1, 1, 0) una base de R3?
Suponiendo que sea cierto lo anterior, calcular las coordenadas del vector (2, 4, 6) en dicha base.
RESPUESTA 8
Hemos de considerar la matriz asociada al sistema, teniéndose que el rango de dicha matriz es igual a la dimensión del espacio que engendran los vectores considerados.
Por lo tanto, el sistema considerado si es un sistema libre que, al ser generador, constituye una base de R3.
Cualquier vector de R3 se puede expresar como combinación lineal de los vectores de una base:
Haciendo operaciones obtenemos el sistema:
Resuelto el sistema se obtiene como solución
con
lo que las coordenadas del vector dado en la base indicada son (2, 0,
0).
Suponiendo que sea cierto lo anterior, calcular las coordenadas del vector (2, 4, 6) en dicha base.
RESPUESTA 8
Hemos de considerar la matriz asociada al sistema, teniéndose que el rango de dicha matriz es igual a la dimensión del espacio que engendran los vectores considerados.
Por lo tanto, el sistema considerado si es un sistema libre que, al ser generador, constituye una base de R3.
Cualquier vector de R3 se puede expresar como combinación lineal de los vectores de una base:
Haciendo operaciones obtenemos el sistema:
Resuelto el sistema se obtiene como solución
con
lo que las coordenadas del vector dado en la base indicada son (2, 0,
0).