PROBLEMAS RESUELTOS
DE ESPACIOS VECTORIALES
ejercicios sobre algebra lineal, base y base dual, independencia lineal

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Problemas de álgebra lineal

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RESPUESTA DEL EJERCICIO 8

Hemos de considerar la matriz asociada al sistema, teniéndose que el rango de dicha matriz es igual a la dimensión del espacio que engendran los vectores considerados.
    \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & -1& 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow |A| = 9 \Rightarrow r = 3 \)
Por lo tanto, el sistema considerado si es un sistema libre que, al ser generador, constituye una base de R3.
Cualquier vector de R3 se puede expresar como combinación lineal de los vectores de una base:
    \(\begin{array}{l} v = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \alpha_3 v_3 \Rightarrow (2, 4, 6) = \\  \\ = \alpha_1 (1, 2, 3) + \alpha_2 (2, -1, 0) + \alpha_3 (1, 1, 0) \end{array}\)
Haciendo operaciones obtenemos el sistema:
    \( \begin{array}{r} \alpha_1 +2 \alpha_2 + \alpha_3 = 2 \\ \\ 2 \alpha_1 - \alpha_2 + \alpha_3 = 4 \\ \\ 3 \alpha_1 = 6 \end{array} \)
Resuelto el sistema se obtiene como solución \( \alpha_1 = 2 \, ; \alpha_2 = 0 \, ; \alpha_3 = 0\) con lo que las coordenadas del vector dado en la base indicada son (2, 0, 0).
Ejercicios resueltos de álgebra lineal - problemas resueltos de espacios vectoriales


tema escrito por: José Antonio Hervás