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Enunciado 26
Demostrar que en cada punto P, el vector:
\( \overrightarrow{grad \; \phi} = \frac{\partial \phi}{\partial
x}\hat{i} + \frac{\partial \phi}{\partial y}\hat{j}+ \frac{\partial
\phi}{\partial z}\hat{k}\)
Es perpendicular a la superficie de nivel
Ø
que pasa por dicho punto.
Como aplicación del resultado anterior, obtener un vector
normal unitario a la superficie:
\(\phi(x, y, z) = x^2 + 2y^2 - x·\cos yz\)
en el punto (3, -2, 0).
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Enunciado 27
Considérese un campo vectorial H de componentes (yz, -zx,
-y²). Demostrar que proviene de superficies ortogonales
y encontrarlas.
Demostrar que existe un campo colineal a H y que deriva de un
potencial. Encontrar las líneas de campo rot H y las superficies
tangentes a este en cada uno de sus puntos.
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Enunciado 28
Demostrar que la traza de una matriz es invariante respecto de
las transformaciones ortogonales de semejanza.
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Enunciado 29
Demostrar que la propiedad de las matrices antIsimétricas,
A = - A
t se conserva en las transformaciones
de semejanza.
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Enunciado 30
Sea la matriz:
\( \begin{pmatrix} 1& 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}
\)
Asociada a un tensor de segundo orden. Calcular los autovalores
y vectores propios del tensor así como la forma que este
adquiere al referirlo a las direcciones principales.
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Enunciado 31
Demostrar que para todo operador T, se verifica:
T + T* es autoadjunto
T - T* es antiautoadjunto; (T - T*)* = - (T - T*)
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Enunciado 32
Demostrar que cualquier operador T es suma de un operador autoadjunto
(T = T*) y otro antiautoadjunto (T = -T*).
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