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DE CALCULO VECTORIAL Y TEORÍA DE CAMPOS

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problemas resueltos

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Enunciado 31

Demostrar que para todo operador T, se verifica:
    T + T* es autoadjunto

    T - T* es antiautoadjunto; (T - T*)* = - (T - T*)
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Enunciado 32

Demostrar que cualquier operador T es suma de un operador autoadjunto (T = T*) y otro antiautoadjunto (T = -T*).
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Enunciado 33

Probar que si T es un operador normal (T.T* =T*.T) sobre V, entonces se cumple:
    \(\|T(v)\| = \|T(v)\|\;^* \; \; \; \forall v \in V \)
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Enunciado 34

Obtener una matriz unitaria cuya primera fila sea múltiplo de:
    \( a \equiv (1 \; , \; 1-i) \)
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Enunciado 35

Hallar una matriz unitaria cuya primera fila sea múltiplo de:
    \(a \equiv \big(1/2 \; , \; i/2 \; , \; (1-i)/2 \big) \)
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Enunciado 36

Sea T un operador lineal sobre un espacio vectorial de dimensión finita. Demostrar que se verifica:
    \(T \; ^* ·T = 0 \; \; \rightarrow \; \; T = 0\)
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Enunciado 37

Sea T un operador autoadjunto. Demostrar que si \( T\;^2 (x) = 0 \Rightarrow T(x) = 0 \). Una vez hecho esto, probar:
    \(Si T\; ^n(x) = 0 \; \; \rightarrow \; \; T(x) = 0 \; \; \forall n > 0\)
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Enunciado 38

Sea la aplicación T de R3 en R3 definida por:
    \( T(x, y, z) = (x+2y,   3x-4z ,   y) \)
Obtener la aplicación simétrica de T
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Enunciado 39

Sea la aplicación T de C3 en C3 definida por:
    \(T(x, y, z) = \big(ix + (2+3i)y, \; \; 3x+(3-i)z , \; \; (2-5i)y + iz \big)\)
Hallar la aplicación adjunta de T.
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Enunciado 40

Explicar sin cálculos por qué la matriz dada por la ecuación adjunta:
    \( A = \begin{pmatrix} 2-i & 4 & -1 & 7 \\ 4 & -i & 0 & 2 \\ -1 & 0 & 3-i & 1 \\ 7 & 2 & 1 & 3-i \\ \end{pmatrix} \)
Es inversible.
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Ejercicios resueltos de cálculo vectorial y teoría de campos
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tema escrito por: José Antonio Hervás