PROBLEMAS RESUELTOS
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ejercicios resueltos de cálculo vectorial
teoría de campos, cursores, gradiente, rotacional, divergencia

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Ejercicios de Cálculo vectorial

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Ejercicios de cálculo vectorial

Sea T un operador autoadjunto. Demostrar que si \( T\;^2 (x) = 0 \Rightarrow T(x) = 0 \). Una vez hecho esto, probar:
    \(Si T\; ^n(x) = 0 \; \; \rightarrow \; \; T(x) = 0 \; \; \forall n > 0\)
- Respuesta del ejemplo 37

Un operador autoadjunto es aquel que verifica T = T*. Según eso, tenemos:
    \(T^{\;2}(x) = T[T(x)] = T^*[T(x)] = (T^* T)(x) = 0\)
Pero según el ejercicio 36, cuando T*•T = 0 se cumple T = 0 y la primera parte del enunciado queda resuelta.
Veamos ahora la segunda parte del enunciado. Consideremos que:
    \(T^{\;n-1}(x) = 0 \; \; implica \; T(x) = 0\)
Podemos poner:
    \(\begin{array}{l} \begin{array}{l} \left . \begin{array}{l} 1) \; \; \; T(x) = 0 \\ \\ 2) \; \; \; T[T(x)] = 0 \; \rightarrow \\  \\ \Rightarrow \;; T(x) = 0 \end{array}\right\} \; T^{\;n}(x) = 0 \;\rightarrow \\  \\ \Rightarrow \; T[T^{\;n-1}(x)] = 0 \; \rightarrow \; T^{\;n-1}(x) = 0 \end{array} \end{array} \)
Y considerando la hipótesis de inducción: T(x) = 0, como queríamos demostrar.
Ejercicios resueltos de cálculo vectorial y teoría de campos
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tema escrito por: José Antonio Hervás