PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE CALCULO VECTORIAL Y TEORÍA DE CAMPOS

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Enunciado 1

Demostrar el teorema del coseno en un triángulo por consideraciones vectoriales.
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Enunciado 2

Dados tres puntos no alineados del espacio, calcular el vector unitario perpendicular al plano formado por los puntos. Obtener también la ecuación el plano que contiene a los tres puntos.
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Enunciado 3

Hallar el área del triángulo que tiene por coordenadas cartesianas los puntos a(1, 3, 4) , b(-2, 1, -1) , c(0, -3, 2).
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Enunciado 4

Dado el sistema de cursores:
    \( P_1(-3, 2, 5) \; \; ---- \; \; A_1(0, 1, -2)\)

    \( P_2(2,-3,2) \; \; ---- \; \; A_2(-1, 1, 1)\)

    \( P_3(4, 0, -3) \; \; ---- \; \; A_3(3, 1, 2)\)
Determinar el momento mínimo y la ecuación del eje central.
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Enunciado 5

Dado el sistema de cursores:
    \( P_1(1, 0, 1) \; \; ---- \; \; A_1(2, 1, 2)\)

    \( P_2(2,-1, -2) \; \; ---- \; \; A_2(1, 3, 0)\)
calcular el cursor que pasando por el origen haga que el sistema sea equivalente a un par. Determinar el momento mínimo del nuevo sistema y la ecuación del eje central.
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Enunciado 6

Si descomponemos un vector r en sus componentes paralela y perpendicular a otro vector q, demostrar que la componente perpendicular vale:

\[r_\bot = \frac{\vec{q}\wedge \left(\vec{r}\wedge\vec{q}\right)}{q^2}\]
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Enunciado 7

Calcular, por medio del gradiente, el plano tangente a la superficie:

2.X.Z² – 3.X.Y – 4.X = 7
En el punto P0(1, -1, 2)
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Enunciado 8

Calcular el vector unitario perpendicular al plano:
A.x + B.y + C.z
Por consideraciones del gradiente.
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Enunciado 9

¿En qué dirección, a partir del punto (1, 3, 2) es máxima la derivada de la función:
    \( \phi = 2· X · Z - Y^2 \)
¿Cuál es la derivada de la función en la dirección 2.i – 3.j + 6.k en dicho punto?.
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Enunciado 10

Si F es un vector constante, demuéstrese que se verifica:
    \(Grad \; \left(\vec{F}·\vec{r}\right) = \vec{F}\)
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Ejercicios resueltos de cálculo vectorial y teoría de campos


tema escrito por: José Antonio Hervás