PROBLEMAS RESUELTOS DE CÁLCULO VECTORIAL
teoría de campos, cursores, gradiente, rotacional, divergencia

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Ejercicios de Calculo vectorial

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Ejercicios de cálculo vectorial - Respuesta del ejemplo 35

Decimos que una matriz es unitaria si sus vectores fila (vectores columna) forman una base ortonormal. Tenemos según eso:
    \(\displaystyle (x , y , z)\overline{(\frac{1}{2}, \frac{i}{2}, \frac{1-i}{2})} = (x , y , z)(\frac{1}{2}, - \frac{i}{2}, \frac{1+i}{2}) = 0\)
Operando y simplificando:
    \(\displaystyle \frac{x}{2} - i\frac{y}{2} + (i+1)·\frac{z}{2} = 0 \; \; ; \; \; x = iy - (1+i)z \; \; \rightarrow \; \; v_2 = (i, 1, 0)\)
Debemos calcular otro vector más que deberá ser ortogonal al obtenido en el punto anterior y al dado en el enunciado:
    \( v_3v_1 = 0 \; \; \rightarrow \; \; x - iy + (1+i)z = 0\)
    \(v_3v_2 = 0 \; \; \rightarrow \; \; (x, y, z) \overline{(i, 1, 0)} = (x, y, z)(-i, 1, 0) = - ix + y = 0 \)
Si damos a x el valor 1 resulta:
    \(x = 1 \; \; \rightarrow \; \; y = ix = i \; \; \rightarrow \; \; (1+i)z = iy - x = -2 \; \; ; \; \; z = - \frac{2}{1+i} = i-1\)
Y tendremos los vectores:
    \(\displaystyle v_1 = \left(\frac{1}{2}, \frac{i}{2}, \frac{1-i}{2}\right) \; \; \rightarrow \; \; \left\|v_1\right\| = \sqrt{v_1·v_1^*} = 1\)

    \(\displaystyle v_2 = \left(i, 1, 0\right) \; \; \rightarrow \; \; \left\|v_2\right\| = \sqrt{v_2·v_2^*} = \sqrt{2}\)

    \(\displaystyle v_3 = \left(1, i, -1+i \right) \; \; \rightarrow \; \; \left\|v_3\right\| = \sqrt{v_3·v_3^*} = 2\)
Con lo que una de las matrices unitarias que podemos escribir tendrá la forma:
    \( \begin{pmatrix} 1/2 & i/2 & (1-i)/2 \\ i/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} & 0 \\ 1/2 & i/2 & (i-1)/2 \end{pmatrix} \)
Y queda resuelto el problema planteado.
Ejercicios resueltos de cálculo vectorial y teoría de campos


tema escrito por: José Antonio Hervás