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DE CALCULO VECTORIAL Y TEORÍA DE CAMPOS

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problemas resueltos

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Enunciado 11

Demostrar que si el vector w es constante, entonces \(\vec{F} = \vec{w}\wedge \vec{r} \;\) es selenoidal.
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Enunciado 12

Demostrar que si un vector E vale \(\vec{E} = r^{-3}· \vec{r} \;\) donde \( \vec{r}\) es el vector posición r(x,y,z), entonces E es selenoidal.
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Enunciado 13

Demostrar que \(\vec{E} = f(r)· \vec{r}\; \) es un vector irrotacional.
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Enunciado 14

Hallar los valores a, b, c para que el campo vectorial:

\[ \vec{F} = (axy + bz^3) \hat{i} + (3x^2 - cz) \hat{j} + (3xz^2 - y)\hat{k} \]
Sea irrotacional.
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Enunciado 15

Comprobar que se cumple la siguiente expresión:
    \(rot(rot \vec{E}) = grad (div \vec{E}) - \nabla ^2·\vec{E}\)
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Enunciado 16

Un campo escalar viene definido en coordenadas cilíndricas por:
    \( \displaystyle u = \frac{Az·\tan\varphi}{r^2} \; \; \;\)(A = Cte)
Expresar dicho campo en coordenadas cartesianas.
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Enunciado 17

Un campo vectorial viene definido en coordenadas esféricas por :
    \( \displaystyle \vec{E} = \frac{A·\cos\theta}{r^3}· \hat{e}_r + \frac{A·\sin\theta}{r^3}· \hat{e}_{\theta} \; \; \;\)(A = Cte)
exprésese dicho campo en coordenadas cilíndricas.
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Enunciado 18

Comprobar el teorema de Green por medio del flujo del vector E a través de una superficie esférica de radio R y centro en el origen de coordenadas. El campo E viene dado en coordenadas esféricas por:
    \( \vec{E} = r·(\sin^2 \varphi · \sin \theta ·\hat{e}_r + \cos \varphi · \sin \theta ·\hat{e}_{\theta}) \)
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Enunciado 19

Demostrar que se verifica:
    \( Grad (\vec{F}·\vec{G}) = (\vec{F}\wedge rot \; \vec{G}) + (\vec{G}\wedge rot \; \vec{F}) + (\vec{F}· grad)\vec{G} + (\vec{G}· grad)\vec{F}\)
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Enunciado 20

Demostrar que se verifica:
    \( \displaystyle \triangle f(x) = \frac{\partial ^2 f}{\partial r^2} + \frac{2}{r} · \frac{\partial f}{\partial r}\)
y hallar f(r) para que se cumpla que dicha expresión es igual a 0.
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Ejercicios resueltos de cálculo vectorial y teoría de campos
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tema escrito por: José Antonio Hervás