PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMATICAS
ejercicios resueltos de cálculo vectorial
teoría de campos, cursores, gradiente, rotacional, divergencia

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Ejercicios de Cálculo vectorial

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Ejercicios de cálculo vectorial

Probar que si T es un operador normal (T.T* =T*.T) sobre V, entonces se cumple:
    \(\|T(v)\| = \|T(v)\|\;^* \; \; \; \forall v \in V \)
- Respuesta del ejemplo 33

Considerando las condiciones del enunciado podemos poner:
    \(\|T(v)\|^2 = T(v)T(v) = T^*[T(v)]v = (T^*T)(v)v = \)

    \((TT^*)(v) = T[T^*(v)]v = T^*(v)T^*(v) = \|T^*(v)\|^2 \)
Y a partir de ahí:
    \(\|T(v)\|^2 = \|T^*(v)\|^2 \; \; \; \leftrightarrow \; \; \; \|T(v)\| = \|T^*(v)\| \)
Recíprocamente, si se cumple:
    \( \|T(v)\| = \|T^*(v)\| \)
Resulta:
    \(\|T(v)\|^2 = \|T^*(v)\|^2 \; \; \; \leftrightarrow \; \; \; T(v)·T(v) = T^*(v)·T^*(v) \)
Y teniendo en cuenta las propiedades de los operadores asociados a endomorfismos adjuntos:
    \(\left . \begin{array}{l} T(v)\,T(v) = v\,T^*[T(v)] = v\,(T^*T)(v) \\\\ T^*(v)\,T^*(v) = v\,T^*(v) = v\,T[(T^*)(v)] = v\,(T\,T^*)(v) \end{array}\right\} \; v[(T^*T)(v) - (T\,T^*)(v)] = 0 \)
Pero el vector v no es nulo, por lo que resulta:
    \((T^*T)(v) - (TT^*)(v) = 0 \; \; \rightarrow \; \; [T^*T - TT^*](v) = 0 \; \; \rightarrow \; \; T^*T = TT^*\)
Y queda demostrado la cuestión propuesta
Ejercicios resueltos de cálculo vectorial y teoría de campos
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tema escrito por: José Antonio Hervás