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PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE CALCULO VECTORIAL Y TEORÍA DE CAMPOS
 
Enunciado 21

Comprobar el teorema de Stokes siendo:
    \( \vec{F} = (2x - y)· \hat{i} - yz^2 · \hat{j} - y^2z·\hat{k}\)
y S la superficie semiesférica que determina el plano XY al cortar a la esfera de ecuación
    x² + y² + z² = 1
y la curva cerrada C ,la circunferencia en que se apoya.
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Enunciado 22

Si la función vectorial A es :
    \( \vec{A} = (4xy - 3x^2 z^2)· \hat{i} - 2x^2 · \hat{j} - 2x^3 z·\hat{k}\)
demostrar que la integral \(\int \limits_ {c} \vec{A}·\overrightarrow{dr}\) es independiente de la trayectoria C que va de P a Q (siendo P y Q fijos). Demostrar que existe una función derivable, Φ , que verifica A = - ∇ Φ , y hallar su expresión.
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Enunciado 23

Hallar las constantes a,b,c de forma que el vector V dado por:
    \( \vec{V} = (x + 2y + az)· \hat{i} + (bx - 3y - z) · \hat{j} + (4x + cy + 2z)·\hat{k}\)
sea irrotacional.
Demostrar que V puede expresarse como gradiente de una función escalar y hallar esta función.
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Enunciado 24

Demostrar que
    \( \vec{B} = (4xy - 3x^2z^2)· \hat{i} + 2x^2 · \hat{j} - 2x^3z·\hat{k}\)
Es un campo vectorial conservativo y obtener el trabajo entregado por el campo en un desplazamiento del punto P al punto Q, de coordenadas respectivas (1, -2, 1) y (3, 1, 4).
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Enunciado 25

Demostrar que
    \(\vec{F} = (y^2·\cos x + z^3)\hat{i} + (2y·\sin x - y)\hat{j}+ 3xz^2·\hat{k}\)
Es un campo vectorial conservativo y obtener el trabajo entregado por el campo en un desplazamiento desde punto P al punto Q, de coordenadas respectivas (1, -2, 1) y (3, 1, 4).
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Enunciado 26

Demostrar que en cada punto P, el vector:
    \( \overrightarrow{grad \; \phi} =\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial \phi}{\partial y}\hat{j}+ \frac{\partial \phi}{\partial z}\hat{k}\)
Es perpendicular a la superficie de nivel Ø que pasa por dicho punto.
Como aplicación del resultado anterior, obtener un vector normal unitario a la superficie:
    \(\phi(x, y, z) = x^2 + 2y^2 - x·\cos yz\)
en el punto (3, -2, 0).
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Enunciado 27

Considérese un campo vectorial H de componentes (yz, -zx, -y²). Demostrar que proviene de superficies ortogonales y encontrarlas.
Demostrar que existe un campo colineal a H y que deriva de un potencial. Encontrar las líneas de campo rot H y las superficies tangentes a este en cada uno de sus puntos.
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Enunciado 28

Demostrar que la traza de una matriz es invariante respecto de las transformaciones ortogonales de semejanza.
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Enunciado 29

Demostrar que la propiedad de las matrices antIsimétricas, A = - At se conserva en las transformaciones de semejanza.
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Enunciado 30

Sea la matriz:
    \( \begin{pmatrix} 1& 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)
Asociada a un tensor de segundo orden. Calcular los autovalores y vectores propios del tensor así como la forma que este adquiere al referirlo a las direcciones principales.
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Ejercicios resueltos de cálculo vectorial y y problemas resueltos de teoría de campos
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tema escrito por: José Antonio Hervás