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Enunciado 17

Un campo vectorial viene definido en coordenadas esféricas por :

\( \displaystyle \vec{E} = \frac{A·\cos\theta}{r^3}· \hat{e}_r + \frac{A·\sin\theta}{r^3}· \hat{e}_{\theta} \qquad\)(A = Cte)

exprésese dicho campo en coordenadas cilíndricas.

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Enunciado 18

Comprobar el teorema de Green por medio del flujo del vector E a través de una superficie esférica de radio R y centro en el origen de coordenadas. El campo E viene dado en coordenadas esféricas por:

\( \vec{E} = r·(\sin^2 \varphi · \sin \theta ·\hat{e}_r + \cos \varphi · \sin \theta ·\hat{e}_{\theta}) \)

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Enunciado 19

Demostrar que se verifica:

\( Grad (\vec{F}·\vec{G}) = (\vec{F}\wedge rot \; \vec{G}) + (\vec{G}\wedge rot \; \vec{F}) + (\vec{F}· grad)\vec{G} + (\vec{G}· grad)\vec{F}\)

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Enunciado 20

Demostrar que se verifica:

\( \displaystyle \triangle f(x) = \frac{\partial ^2 f}{\partial r^2} + \frac{2}{r} · \frac{\partial f}{\partial r}\)

y hallar f(r) para que se cumpla que dicha expresión es igual a 0.

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Enunciado 21

Comprobar el teorema de Stokes siendo:

\( \vec{F} = (2x - y)· \hat{i} - yz^2 · \hat{j} - y^2z·\hat{k}\)

y S la superficie semiesférica que determina el plano XY al cortar a la esfera de ecuación

x² + y² + z² = 1

y la curva cerrada C ,la circunferencia en que se apoya.

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Enunciado 22

Si la función vectorial A es :

\( \vec{A} = (4xy - 3x^2 z^2)· \hat{i} - 2x^2 · \hat{j} - 2x^3 z·\hat{k}\)

demostrar que la integral \(\int \limits_ {c} \vec{A}·\overrightarrow{dr}\) es independiente de la trayectoria C que va de P a Q (siendo P y Q fijos). Demostrar que existe una función derivable, Φ , que verifica A = - ∇ Φ , y hallar su expresión.

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Enunciado 23

Hallar las constantes a,b,c de forma que el vector V dado por:

\( \vec{V} = (x + 2y + az)· \hat{i} + (bx - 3y - z) · \hat{j} + (4x + cy + 2z)·\hat{k}\)

sea irrotacional.
Demostrar que V puede expresarse como gradiente de una función escalar y hallar esta función.

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Enunciado 24

Demostrar que

\( \vec{B} = (4xy - 3x^2z^2)· \hat{i} + 2x^2 · \hat{j} - 2x^3z·\hat{k}\)

Es un campo vectorial conservativo y obtener el trabajo entregado por el campo en un desplazamiento del punto P al punto Q, de coordenadas respectivas (1, -2, 1) y (3, 1, 4).

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