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DE CALCULO VECTORIAL Y TEORÍA DE CAMPOS

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Enunciado 41

Encontrar la rapidez de variación de la presión, \(p(x,y,z) \) respecto de la distancia a un punto \(P(x,y,z) \), en la dirección de un vector conocido \(\vec{a} \).

¿Para que dirección de \(\vec{a} \) será máxima la rapidez de variación de la presión?

Calcular la rapidez de variación de la presión, con respecto al tiempo, de una partícula que pasa por el punto P con velocidad v en la dirección \(\vec{a} \)
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Enunciado 42

Si el valor de una función \( \phi (x,y,z) \) viene dado por la ecuación:
    \(\phi (x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 \)
Calcular \( grad \phi \) y \( |grad \phi |\) en el punto \( (1, 1, \sqrt{2}) \). A partir de ahí obtener el vector unitario normal a la superficie:
    \( x^2 + y^2 + z^2 = 4 \)
En el punto anterior
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Enunciado 43

Calcular la rapidez de variación de la temperatura con respecto al tiempo y en el instante t = 0, que experimenta una partícula al pasar por un punto de coordenadas espaciales (3, 1, 2) con velocidad \( v = 3 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k} \), sabiendo que en el punto \((x, y, z) \) la temperatura en el instante t viene dada por una función de la forma
    \( \phi (x, y, z, t) = x^2y + 3 xyzt + \sin xt \)
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Enunciado 44

Calcúlese el gradiente de \( \phi \) en el punto (1, 1, 1) para la función:
    \( \phi (x, y, z) = 2yx^3 - z^2x \)
y demuéstrese que la derivada de \( \phi \) en la dirección paralela al vector \( 2 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k} \) toma el valor \( \sqrt{6} \) en dicho punto. ¿ En que dirección será máxima la derivada direccional para el punto (1, 2, 3)?¿Qué valor toma dicho máximo?
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Enunciado 45

Demuéstrese que el ángulo agudo formado por las dos superficies:
    \( 3x^2 + 4y^2 - z^2 = 7 \; \; ; \; \; x^2 - y^2 = z \)
En el punto (2, 1, 3) vale \( arc \; \cos (19/ \sqrt{1281} )\)
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Enunciado 46

Calcular la transformación ortogonal que nos permite diagonalizar la siguiente forma:
    \( \phi(x) = 2x^2 - 6xy + 10y^2\)
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Enunciado 47

Obtener la transformación ortogonal que diagonaliza la forma dada por la ecuación adjunta:
    \( \phi(x) = x^2 + 8xy - 5y^2\)
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Enunciado 48

Hallar la transformación ortogonal con la que podríamos diagonalizar la siguiente forma:
    \( \phi(x) = 2xy + 2xz + 2yz\)
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Enunciado 49

Reducir en el grupo unitario la siguiente forma hermítica sobre C3:
    \( \phi (v) = x_1 \bar{x}_1 + x_2 \bar{x}_2 - i· x_1 \bar{x}_2 + i· x_2 \bar{x}_1\)
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Enunciado 50

Obtener la matriz de cambio que permite la diagonalización de la siguiente forma hermítica:
    \( \phi (v) = x_1 \bar{x}_1 - 3i· x_1 \bar{x}_3 + x_2 \bar{x}_2 + 3i· x_3 \bar{x}_1 - x_3 \bar{x}_3\)
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Ejercicios resueltos de cálculo vectorial y teoría de campos
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tema escrito por: José Antonio Hervás