Enunciado 33

Probar que si T es un operador normal (T.T* =T*.T) sobre V, entonces se cumple:

\(\|T(v)\| = \|T(v)\|\;^* \qquad \forall v \in V \)

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Enunciado 34

Obtener una matriz unitaria cuya primera fila sea múltiplo de:

\( a \equiv (1 \; , \; 1-i) \)

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Enunciado 35

Hallar una matriz unitaria cuya primera fila sea múltiplo de:

\(a \equiv \big(1/2 \; , \; i/2 \; , \; (1-i)/2 \big) \)

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Enunciado 36

Sea T un operador lineal sobre un espacio vectorial de dimensión finita. Demostrar que se verifica:

\(T \; ^* ·T = 0 \quad \rightarrow \quad T = 0\)

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Enunciado 37

Sea T un operador autoadjunto. Demostrar que si T²(x) = 0, entonces T(x) = 0. Una vez hecho esto, probar:

\(Si T ^{\, n}(x) = 0 \quad \rightarrow \quad T(x) = \quad \forall n > 0\)

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Enunciado 38

Sea la aplicación T de R3 en R3 definida por:

T(x, y, z) = (x+2y,   3x-4z ,   y)

Obtener la aplicación simétrica de T

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Enunciado 39

Sea la aplicación T de C3 en C3 definida por:

\(T(x, y, z) = \big(ix + (2+3i)y, quad 3x+(3-i)z , \quad (2-5i)y + iz \big)\)

Hallar la aplicación adjunta de T.

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Enunciado 40

Explicar sin cálculos por qué la matriz dada por la ecuación adjunta:

\( A = \begin{pmatrix} 2-i & 4 & -1 & 7 \\ 4 & -i & 0 & 2 \\ -1 & 0 & 3-i & 1 \\ 7 & 2 & 1 & 3-i \\ \end{pmatrix} \)

Es inversible.

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