PROBLEMAS RESUELTOS DE CÁLCULO VECTORIAL
teoría de campos, cursores, gradiente, rotacional, divergencia

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Ejercicios de Calculo vectorial

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Ejercicios de cálculo vectorial - Respuesta del ejemplo 19

Sabemos que el producto escalar de las funciones vectoriales F y G viene dado por :
    \( \displaystyle \overrightarrow{F}·\overrightarrow{G}= F_x · G_x + F_y · G_y +F_z · G_z \)
y además, tenemos :
    \( \displaystyle \left[ Grad \left(\overrightarrow{F}·\overrightarrow{G}\right)\right]_x = \frac{\partial}{\partial x}\left(F_x · G_x + F_y · G_y +F_z · G_z \right) \)
    \( \displaystyle = \frac{\partial G_x}{\partial x} F_x+ \frac{\partial F_x}{\partial x} G_x+ \frac{\partial G_y}{\partial x} F_y+ \frac{\partial F_y}{\partial x} G_y + \frac{\partial G_z}{\partial x} F_z+ \frac{\partial F_z}{\partial x} G_z \)
Expresiones análogas, con derivadas respecto de y y de z, tenemos para:
    \( \displaystyle \left[ Grad \left(\overrightarrow{F}·\overrightarrow{G}\right)\right]_y \; \; \; ; \; \; \; \left[ Grad \left(\overrightarrow{F}·\overrightarrow{G}\right)\right]_z \)
Por otra parte, desarrollando la expresión :
    \( \displaystyle \overrightarrow{F}\wedge rot \overrightarrow{G} = \left[F_y\left(\frac{\partial G_y}{\partial x} - \frac{\partial G_x}{\partial y}\right) - F_z\left(\frac{\partial G_x}{\partial z} - \frac{\partial G_z}{\partial x}\right) \right]\hat{i} + \)


    \( \displaystyle \left[F_z\left(\frac{\partial G_z}{\partial y} - \frac{\partial G_y}{\partial z}\right) - F_x\left(\frac{\partial G_y}{\partial x} - \frac{\partial G_x}{\partial y}\right) \right]\hat{j} + \left[F_x\left(\frac{\partial G_x}{\partial z} - \frac{\partial G_z}{\partial y}\right) - \; \; ... \right. \)


    \( \displaystyle \left. ... \; \; - F_y\left(\frac{\partial G_z}{\partial y} - \frac{\partial G_y}{\partial z}\right) \right]\hat{k} \)
Por razones de brevedad, demostraremos la expresión únicamente para la primera componente. De ese modo, la componente respecto a x, de \(\overrightarrow{G}\wedge rot \overrightarrow{F} \; \; \) es :
    \( \displaystyle\left[\overrightarrow{G}\wedge rot \overrightarrow{F}\right]_x = \left[G_y\left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) - F_z\left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) \right]\hat{i} \)
Análogamente, las primeras componentes para (F.grad)G y (G.grad)F son, respectivamente :
    \( \displaystyle\left[\left(\overrightarrow{F}· Grad \right)\overrightarrow{G}\right]_x = \frac{\partial G_x}{\partial x}· F_x + \frac{\partial G_x}{\partial y}· F_y + \frac{\partial G_x}{\partial z}· F_z \)

    \( \displaystyle\left[\left(\overrightarrow{G}· Grad \right)\overrightarrow{F}\right]_x = \frac{\partial F_x}{\partial x}· G_x + \frac{\partial F_x}{\partial y}· G_y + \frac{\partial F_x}{\partial z}· G_z \)
Así pues, escribiendo :
    \( \displaystyle\left[\overrightarrow{F}\wedge rot \overrightarrow{G}\right]_x + \left[\overrightarrow{G}\wedge rot \overrightarrow{F}\right]_x + \left[\left(\overrightarrow{F}· Grad \right)\overrightarrow{G}\right]_x + \left[\left(\overrightarrow{G}· Grad \right)\overrightarrow{F}\right]_x \)
y desarrollando, tenemos :

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \left[F_y\left(\frac{\partial G_y}{\partial x} - \frac{\partial G_x}{\partial y}\right) - F_z\left(\frac{\partial G_x}{\partial z} - \frac{\partial G_z}{\partial x}\right) \right] + \\  \\ \left[G_y\left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) - G_z\left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) \right] + \\  \\ \left( \frac{\partial F_x}{\partial x}· G_x + \frac{\partial F_x}{\partial y}· G_y + \frac{\partial F_x}{\partial z}· G_z\right) + \\  \\ + \left( \frac{\partial G_x}{\partial x}· F_x + \frac{\partial G_x}{\partial y}· F_y + \frac{\partial G_x}{\partial z}· F_z\right) \end{array} \)

Pero, simplificando :
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \frac{\partial F_x}{\partial x}· G_x + \frac{\partial F_x}{\partial y}· G_y + \frac{\partial F_x}{\partial z}· G_z + \frac{\partial G_x}{\partial x}· F_x + \\
     \\
    + \frac{\partial G_x}{\partial y}· F_y + \frac{\partial G_x}{\partial z}· F_z = \left[Grad \left(\overrightarrow{F}· \overrightarrow{G}\right)\right]
    \end{array}\)
y queda demostrado lo que nos proponíamos.
Ejercicios resueltos de cálculo vectorial y teoría de campos


tema escrito por: José Antonio Hervás