Ejercicios de cálculo vectorial - Respuesta del ejemplo 12

Para que un vector sea selenoidal se ha de cumplir que su divergencia sea nula, es decir \(\vec{\nabla}· \vec{E} = 0 \; \). Calculamos el valor de E en función de r.

\[ \vec{r} = x · \hat{i} + y · \hat{j} + z · \hat{k} \quad \Rightarrow \quad |r| = \sqrt{x^2+y^2+z^2} \quad \Rightarrow \quad \vec{E} = r^{-3} · \vec{r} = \frac{x · \hat{i} + y · \hat{j} + z · \hat{k}}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{3/2} }\]
Según eso, los valores para obtener la divergencia serán

\[\frac{\partial E_x}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{x}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{3/2} } \right) = \frac{\left(x^2+y^2+z^2\right) - 3x^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{5/2} }\]
Y de igual modo

\[ \frac{\partial E_y}{\partial y} = \frac{\left(x^2+y^2+z^2\right) - 3y^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{5/2} } \quad ; \quad \frac{\partial E_z}{\partial z} = \frac{\left(x^2+y^2+z^2\right) - 3z^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{5/2} }\]
Sumando las tres expresiones obtenidas nos queda:

\[\frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z} = 0 \quad \Rightarrow \quad Div \; \vec{E} = \vec{\nabla}· \vec{E} = 0 \]
Como se quería demostrar.