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ejercicios resueltos de cálculo vectorial
teoría de campos, cursores, gradiente, rotacional, divergencia

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Ejercicios de Cálculo vectorial

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Ejercicios de cálculo vectorial

Demostrar que si un vector E vale \(\vec{E} = r^{-3} \vec{r} \;\) donde \( \vec{r}\) es el vector posición r(x,y,z), entonces E es selenoidal.

- Respuesta del ejemplo 12


Para que un vector sea selenoidal se ha de cumplir que su divergencia sea nula, es decir \(\vec{\nabla} \vec{E} = 0 \; \). Calculamos el valor de E en función de r.

    \(\displaystyle \begin{array}{l} \vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k} \; \; \Rightarrow \; \; |r| = \sqrt{x^2+y^2+z^2} \; \; \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow \; \; \vec{E} = r^{-3} \vec{r} =\frac{x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{3/2} } \end{array} \)
Según eso, los valores para obtener la divergencia serán

    \( \displaystyle \frac{\partial E_x}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{x}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{3/2} } \right) = \frac{\left(x^2+y^2+z^2\right) - 3x^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{5/2} }\)
Y de igual modo
    \( \displaystyle \frac{\partial E_y}{\partial y} = \frac{\left(x^2+y^2+z^2\right) - 3y^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{5/2} } \; \; ; \; \; \frac{\partial E_z}{\partial z} = \frac{\left(x^2+y^2+z^2\right) - 3z^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{5/2} } \)
Sumando las tres expresiones obtenidas nos queda:
    \( \displaystyle \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z} = 0 \; \; \Rightarrow \; \; Div \; \vec{E} = \vec{\nabla} \vec{E} = 0 \)
Como se quería demostrar.
Ejercicios resueltos de cálculo vectorial y teoría de campos
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tema escrito por: José Antonio Hervás