PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMATICAS
ejercicios resueltos de cálculo vectorial
teoría de campos, cursores, gradiente, rotacional, divergencia

Ver enunciado del ejercicio en:

Ejercicios de Cálculo vectorial

Estás en :
Matemáticas y Poesía >

Ejercicios resueltos

 
Ejercicios de cálculo vectorial

Demostrar que \(\vec{E} = f(r) \vec{r}\; \) es un vector irrotacional.

- Respuesta del ejemplo 13


Un vector es irrotacional si su rotacional vale 0. En nuestro caso, puesto que el vector dado es función del módulo del vector de posición, podemos poner:
    \( \displaystyle \vec{E} = f(r) \vec{r} = f\left( \sqrt{x^2+y^2+z^2} \right) \left( x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k} \right)\)
Sabiendo que el rotacional se obtiene por
    \( \displaystyle \begin{array}{l} rot \; \vec{E} =\left| \begin{array}{ccc} \hat{e}_1 & \hat{e}_2 & \hat{e}_3 \\ \frac{\partial}{\partial x }& \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ E_x& E_y & E_z \\ \end{array} \right| = \left( \frac{\partial E_z}{\partial y} - \frac{\partial E_y}{\partial z}\right) \hat{e}_1+ \\  \\ + \left( \frac{\partial E_x}{\partial z} - \frac{\partial E_z}{\partial x}\right) \hat{e}_2 + \left( \frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y}\right) \hat{e}_3 \end{array} \)
Podemos deducir en nuestro caso las componentes del rotacional:
    \( \displaystyle \frac{\partial E_z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left[ f \left( \sqrt{x^2+y^2+z^2} \right)z \right] = \frac{y z f'\left( \sqrt{x^2+y^2+z^2} \right)}{\left( \sqrt{x^2+y^2+z^2} \right)}\)
    \( \displaystyle \frac{\partial E_y}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial y}\left[ f \left( \sqrt{x^2+y^2+z^2} \right)z \right] = \frac{z y f'\left( \sqrt{x^2+y^2+z^2} \right)}{\left( \sqrt{x^2+y^2+z^2} \right)}\)
De donde tenemos:
    \( \displaystyle \frac{\partial E_z}{\partial y} - \frac{\partial E_y}{\partial z} = 0\)
E igualmente para las otras componentes. Por lo tanto, el rotacional del vector E es nulo y, consecuentemente, dicho vector es irrotacional.
Ejercicios resueltos de cálculo vectorial y teoría de campos
Otros usuarios de Matemáticas y poesía también han visto:




tema escrito por: José Antonio Hervás