Ejercicios de cálculo vectorial - Respuesta del ejemplo 13

Un vector es irrotacional si su rotacional vale 0. En nuestro caso, puesto que el vector dado es función del módulo del vector de posición, podemos poner:

\[ \vec{E} = f(r) · \vec{r} = f\left( \sqrt{x^2+y^2+z^2} \right) · \left( x · \hat{i} + y · \hat{j} + z · \hat{k} \right)\]
Sabiendo que el rotacional se obtiene por

\[ rot \; \vec{E} =\left|
\begin{array}{ccc}
\hat{e}_1 & \hat{e}_2 & \hat{e}_3 \\
\frac{\partial}{\partial x }& \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
E_x& E_y & E_z \\
\end{array}
\right| = \left( \frac{\partial E_z}{\partial y} - \frac{\partial E_y}{\partial z}\right) \hat{e}_1+ \left( \frac{\partial E_x}{\partial z} - \frac{\partial E_z}{\partial x}\right) \hat{e}_2 + \left( \frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y}\right) \hat{e}_3\]
Podemos deducir en nuestro caso las componentes del rotacional:

\[\frac{\partial E_z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left[ f \left( \sqrt{x^2+y^2+z^2} \right)z \right] = \frac{y· z · f'\left( \sqrt{x^2+y^2+z^2} \right)}{\left( \sqrt{x^2+y^2+z^2} \right)}\]

\[\frac{\partial E_y}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial y}\left[ f \left( \sqrt{x^2+y^2+z^2} \right)z \right] = \frac{z· y · f'\left( \sqrt{x^2+y^2+z^2} \right)}{\left( \sqrt{x^2+y^2+z^2} \right)}\]
De donde tenemos:

\[\frac{\partial E_z}{\partial y} - \frac{\partial E_y}{\partial z} = 0 \]
E igualmente para las otras componentes. Por lo tanto, el rotacional del vector E es nulo y, consecuentemente, dicho vector es irrotacional.