Ejercicios de cálculo vectorial - Respuesta del ejemplo 17

Teniendo en cuenta que la relación entre las coordenadas esféricas y cilíndricas es:

\[ \rho = r · \sin \theta \qquad ; \qquad z= r · \cos \theta \qquad ; \qquad \Phi = \Phi \]
podemos poner:

\[\vec{E} = \frac{A·\cos \theta}{r^3}· \hat{e}_r + \frac{A·\sin \theta}{r^3}· \hat{e}_{\theta} = \frac{A· z}{\left( \rho^2 + z^2 \right)^2}· \hat{e}_r + \frac{A·\rho}{\left( \rho^2 + z^2 \right)^2}· \hat{e}_{\theta}\]
Pero los vectores unitarios también han de ser transformados, por consiguiente haremos:
\[\vec{r} = \rho·\hat{e}_{\rho} + z ·\hat{e}_z + r ·\hat{e}_r \quad \Rightarrow \quad \vec{r} = r · \sin \theta ·\hat{e}_{\rho} + r · \cos \theta ·\hat{e}_z \]
Con lo que los vectores unitarios en coordenadas esféricas vendrán dados por :

\[\hat{e}_r = \frac{\partial \vec{r}/\partial r}{|\partial \vec{r}/\partial r|} = \sin \theta ·\hat{e}_{\rho} + \cos \theta ·\hat{e}_z = \frac{\rho· \hat{e}_{\rho} + z · \hat{e}_z}{\sqrt{\rho_2 + z^2}} \]

\[\hat{e}_{\theta} = \frac{\partial \vec{r}/\partial \theta}{|\partial \vec{r}/\partial \theta|} = \frac{r · \cos \theta ·\hat{e}_{\rho} - r · \sin \theta ·\hat{e}_z}{r^2 · \cos^2 \theta + r^2 · \sin^2 \theta} = \frac{z · \hat{e}_{\rho} - \rho · \hat{e}_z}{\sqrt{\rho_2 + z^2}} \]
Sustituyendo los valores anteriores resulta:

\[ \begin{matrix}\vec{E} & = & \frac{A· z}{\left( \rho^2 + z^2 \right)^{5/2}}· (\rho· \hat{e}_{\rho} + z · \hat{e}_z) + \frac{A·\rho}{\left( \rho^2 + z^2 \right)^{5/2}}· (z · \hat{e}_{\rho} - \rho · \hat{e}_z) \\ \ & = & \frac{A· z}{\left( \rho^2 + z^2 \right)^{5/2}}· \left[ 2z· \rho · \hat{e}_{\rho} + (z^2 - \rho^2)\hat{e}_z \right] \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \end{matrix} \]
que es la solución buscada.