Ejercicios de cálculo vectorial - Respuesta del ejemplo 14

Se dice que un vector es irrotacional si su rotacional es nulo. Tenemos entonces:

\[ Rot \; \vec{F} = \vec{\nabla}\wedge \vec{F} = \left|
\begin{array}{ccc}
\hat{e}_1 & \hat{e}_2 & \hat{e}_3 \\
\frac{\partial}{\partial x }& \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
F _x& F_y & F_z \\
\end{array}
\right| = \left|
\begin{array}{ccc}
\hat{e}_1 & \hat{e}_2 & \hat{e}_3 \\
\frac{\partial}{\partial x }& \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
axy + bz^3 & 3x^2 - cz & 3xz^2 - y \\
\end{array}
\right| \]
Y desarrollando:

\[ Rot \; \vec{F} = \vec{\nabla}\wedge \vec{F} = (c-1) \hat{e}_1+ (3bz^2 - 3z^2) \hat{e}_2 + (6x - ax) \hat{e}_3 \]
Puesto que ha de ser nulo el rotacional, deberán ser nulas todas sus componentes. De ese modo, puesto que x, y, z son distintos de cero: a = 6 ; b = 1 ; c = 1.