PROBLEMAS RESUELTOS DE CÁLCULO VECTORIAL
teoría de campos, cursores, gradiente, rotacional, divergencia

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Ejercicios de Calculo vectorial

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Ejercicios de cálculo vectorial - Respuesta del ejemplo 15

El término mas a la derecha de la anterior ecuación expresa la laplaciana de un vector y se obtiene por
    \( \displaystyle \nabla^2 \vec{E} = \frac{\partial^2 E}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 E}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 E}{\partial z^2}\)
Y para la componente x será :
    \( \displaystyle \left( \nabla^2 \vec{E} \right)_x = \frac{\partial^2 E_x}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 E_x}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2}\)
Por otro lado, se tiene

    \( \displaystyle \begin{array}{l} rot \; \vec{E} =\left| \begin{array}{ccc} \hat{e}_1 & \hat{e}_2 & \hat{e}_3 \\ \frac{\partial}{\partial x }& \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ E_x& E_y & E_z \\ \end{array} \right| = \left( \frac{\partial E_z}{\partial y} - \frac{\partial E_y}{\partial z}\right) \hat{e}_1+ \\  \\ + \left( \frac{\partial E_x}{\partial z} - \frac{\partial E_z}{\partial x}\right) \hat{e}_2 + \left( \frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y}\right) \hat{e}_3 \end{array} \)
Y la componente en x de rot(rot E) será:
    \( \displaystyle rot\left(rot \vec{E}\right)_x = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y}\right) - \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{\partial E_x}{\partial z} - \frac{\partial E_z}{\partial x}\right)\)
Y operando:
    \( \displaystyle rot\left(rot \vec{E}\right)_x = \frac{\partial^2 E_y}{\partial y \partial x} - \frac{\partial^2 E_x}{\partial y^2} - \frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2} + \frac{\partial^2 E_z}{\partial z \partial x} \; \; \; (a)\)
La divergencia de E vale:

\[ Div \; \vec{E} = \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z} \]
Y la componente x del gradiente de dicho vector:

\[ Grad \left(Div \vec{E}\right)_x = \frac{\partial^2 E_x}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 E_y}{\partial y \partial x} + \frac{\partial^2 E_z}{\partial x \partial z} \]
Restando a este resultado el obtenido para la expresión de la componente x del laplaciano, nos queda:

\[ \left | Grad \left(Div \vec{E}\right) - \nabla^2 \vec{E} \right|_x = \frac{\partial^2 E_y}{\partial y \partial x} - \frac{\partial^2 E_x}{\partial y^2}
- \frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2} + \frac{\partial^2 E_z}{\partial z \partial x} \]
Podemos observar que este valor es equivalente al obtenido en (a), con lo que podemos decir que se cumple la expresión analizada para la componente x de las funciones finales. Por consideraciones de simetría, podemos llegar al mismo resultado para las otras dos componentes.
Ejercicios resueltos de cálculo vectorial y teoría de campos


tema escrito por: José Antonio Hervás