Ejercicios de cálculo vectorial - Respuesta del ejemplo 15

El término mas a la derecha de la anterior ecuación expresa la laplaciana de un vector y se obtiene por

\[ \nabla^2 · \vec{E} = \frac{\partial^2 E}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 E}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 E}{\partial z^2} \]
Y para la componente x será :

\[ \left( \nabla^2 · \vec{E} \right)_x = \frac{\partial^2 E_x}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 E_x}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2} \]
Por otro lado, se tiene

\[ rot \; \vec{E} =\left|
\begin{array}{ccc}
\hat{e}_1 & \hat{e}_2 & \hat{e}_3 \\
\frac{\partial}{\partial x }& \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
E_x& E_y & E_z \\
\end{array}
\right| = \left( \frac{\partial E_z}{\partial y} - \frac{\partial E_y}{\partial z}\right) \hat{e}_1+ \left( \frac{\partial E_x}{\partial z} - \frac{\partial E_z}{\partial x}\right) \hat{e}_2 + \left( \frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y}\right) \hat{e}_3\]
Y la componente en x de rot(rot E) será:

\[ rot\left(rot \vec{E}\right)_x = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y}\right) - \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{\partial E_x}{\partial z} - \frac{\partial E_z}{\partial x}\right)\]
Y operando:

\[ rot\left(rot \vec{E}\right)_x = \frac{\partial^2 E_y}{\partial y \partial x} - \frac{\partial^2 E_x}{\partial y^2}
- \frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2} + \frac{\partial^2 E_z}{\partial z \partial x} \qquad (a) \]
La divergencia de E vale:

\[ Div \; \vec{E} = \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z} \]
Y la componente x del gradiente de dicho vector:

\[ Grad \left(Div \vec{E}\right)_x = \frac{\partial^2 E_x}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 E_y}{\partial y \partial x} + \frac{\partial^2 E_z}{\partial x \partial z} \]
Restando a este resultado el obtenido para la expresión de la componente x del laplaciano, nos queda:

\[ \left | Grad \left(Div \vec{E}\right) - \nabla^2 \vec{E} \right|_x = \frac{\partial^2 E_y}{\partial y \partial x} - \frac{\partial^2 E_x}{\partial y^2}
- \frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2} + \frac{\partial^2 E_z}{\partial z \partial x} \]
Podemos observar que este valor es equivalente al obtenido en (a), con lo que podemos decir que se cumple la expresión analizada para la componente x de las funciones finales. Por consideraciones de simetría, podemos llegar al mismo resultado para las otras dos componentes.