Ejercicios de cálculo vectorial - Respuesta del ejemplo 18

El problema puede resolverse expresando el campo en coordenadas cartesianas y desarrollando las integrales según los métodos del análisis numérico. No obstante, también se puede resolver sin necesidad de expresar E en función de x, y, z. Para ello tenemos:

\[\displaystyle\oint_{S} \overrightarrow{E}·\overrightarrow{dS} = \displaystyle \oint_{S} \left(\overrightarrow{E} · \hat{n}\right) dS = \displaystyle \oint_{S} \left(\overrightarrow{E} · \hat{e}_r \right) dS = \displaystyle \oint_{S} r · \sin^2 \varphi · \sin \theta · dS \]
donde los otros términos se anulan por ser nulo el producto escalar de \(\hat{e}_r \; \) con los otros dos vectores unitarios. Nos queda entonces encontrar la expresión de dS en coordenadas esféricas. Considerando la representación paramétrica de una esfera tenemos:

\[ r \left(\vec{\varphi}, \vec{\theta}\right) = R · \cos \varphi · \sin \theta · \hat{i} + R · \sin \varphi · \sin \theta · \hat{j} + R · \cos \theta · \hat{k}\]
Podemos considerar los vectores :

\[\begin{matrix}\frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} & = & R · \cos \varphi · \sin \theta · \hat{i} + R · \sin \varphi · \sin \theta · \hat{j} + R · \cos \theta · \hat{k} \\ \frac{\partial \vec{r}}{\partial \varphi} & = & R · \cos \varphi · \sin \theta · \hat{i} + R · \cos \varphi · \sin \theta · \hat{j} \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \end{matrix}\]
entonces, el vector dS viene dado por:

\( dS = \displaystyle \left\|\frac{\partial r}{\partial \theta} \wedge \frac{\partial r}{\partial \varphi} \right\|d\theta d\varphi = \)

\(= \left\| R^2 \cos \varphi · \sin^2 \theta · \hat{i} + R^2 \sin \varphi · \sin^2 \theta · \hat{j} + R^2 \cos \theta \sin \varphi · \hat{k} \right\|d\theta d\varphi = R^2 \sin \theta · d\theta d\varphi \)

y la integral queda en la forma:

\( \displaystyle\oint_{S} \overrightarrow{E}·\overrightarrow{dS} = \iint R^3 \sin^2 \varphi \sin^2 \theta · d\varphi· d\theta = \displaystyle R^3 \int_{0}^{\pi} \sin^2 \varphi · d\varphi \int_{0}^{2\pi}\sin^2 \theta· d\theta = \)


\(= \displaystyle R^3 \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos 2\varphi}{2} d\varphi \int_{0}^{2\pi} \frac{1 - \cos 2\theta}{2} d\theta = R^3 \left[\frac{\varphi}{2} - \frac{\sin 2\varphi}{4}\right]_0^{\pi} \left[\frac{\theta}{2} - \frac{\sin 2\theta}{4}\right]_0^{2 \pi} = R^3 \frac{\pi^2}{2} \)

El problema puede también resolverse convirtiendo la anterior integral de superficie en una integral triple, para lo cual debemos obtener la divergencia de E expresada en coordenadas esféricas. En general,se tiene:

\[ Div \, E = \frac{1}{r^2}· \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 · E_r \right) + \frac{1}{r · \sin \theta} · \frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin \theta · E_{\theta}\right) + \frac{\partial}{\partial \varphi}(E_{\varphi})\]
Por lo tanto, en nuestro caso, podemos poner:

\( \displaystyle Div \, E = \frac{1}{r^2}· \frac{\partial}{\partial r}\left(r^3 \sin^2 \varphi \sin \theta\right) + \frac{1}{r · \sin \theta} · \frac{\partial}{\partial\theta}\left(- r · \sin^2 \theta · \cos \varphi\right) + \frac{\partial}{\partial \varphi}(r · \cos \theta) = \)

\(= 3 ·\sin^2 \varphi · \sin \theta - 2 ·\cos \varphi · \sin \theta \)

y la integral triple quedará:

\( \displaystyle \iiint\limits_{V} Div \,E · dV = \int\limits_{0}^{R} dr \int\limits_{0}^{\pi} d \varphi \int\limits_{0}^{2 \pi}(3 ·\sin^2 \varphi · \sin \theta - 2 ·\cos \varphi · \sin \theta)r^2 \sin \theta · d \theta \)

O reagrupando términos :

\( \displaystyle \iiint\limits_{V} Div \,E · dV = \int\limits_{0}^{R} r^2dr \int\limits_{0}^{\pi}(3 · \sin^2 \varphi - 2 ·\cos \varphi)d \varphi \int\limits_{0}^{2 \pi} \sin^2 \theta · d \theta = \)

\( \displaystyle = \left(\frac{R^3}{3}\right)\left(\frac{3 \pi}{2}\right)\pi = R^3 · \frac{\pi^2}{2}\)

y este valor coincide con el obtenido anteriormente.