PROBLEMAS RESUELTOS DE CÁLCULO VECTORIAL
teoría de campos, cursores, gradiente, rotacional, divergencia

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Ejercicios de Calculo vectorial

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Ejercicios de cálculo vectorial - Respuesta del ejemplo 20

El operador Laplaciano actúa en la forma:
    \( \displaystyle\triangle f(x) = \frac{\partial^2 f(r)}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f(r)}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f(r)}{\partial z^2} \)
Con lo que tendremos :
    \( \displaystyle \frac{\partial f(r)}{\partial x} = \frac{\partial f(r)}{\partial r} · \frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{r}\frac{\partial f(r)}{\partial r} \; \)
por ser \(r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\)

Derivando de nuevo:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{\partial^2 f(r)}{\partial x^2} = \left(\frac{r-(x^2/r)}{r^2}\right) \frac{df}{dr}+ \left(\frac{x}{r}\right)^2\frac{d^2 f}{dr^2} = \\  \\ = \frac{r^2 - x^2}{r^3} · \frac{d f(r)}{dr} + \left(\frac{x}{r}\right)^2\frac{d^2 f}{dr^2} \end{array} \)
Operando análogamente con las otras variables:
    \( \displaystyle \frac{\partial^2 f(r)}{\partial y^2} = \frac{r^2 - y^2}{r^3} · \frac{d f(r)}{dr} + \left(\frac{y}{r}\right)^2\frac{d^2 f}{dr^2} \)

    \( \frac{\partial^2 f(r)}{\partial z^2} = \frac{r^2 - z^2}{r^3} · \frac{d f(r)}{dr} + \left(\frac{z}{r}\right)^2\frac{d^2 f}{dr^2} \)
y considerando las tres expresiones:
    \( \displaystyle\triangle f(x) = \left( \frac{r^2 - x^2 + r^2 - y^2 + r^2 - z^2}{r^3}\right) \frac{df(r)}{dr} + \)

    \(+ \displaystyle \left[ \left(\frac{x}{r}\right)^2 + \left(\frac{y}{r}\right)^2 + \left(\frac{z}{r}\right)^2\right]\frac{d^2f(r)}{dr^2} \)
    \( \displaystyle = \frac{3r^2 - r^2}{r^3}\frac{df(r)}{dr} + \frac{x^2 + y^2 + z^2}{r^2}\frac{d^2f(r)}{dr^2} = \frac{2}{r}\frac{df(r)}{dr} + \frac{d^2f(r)}{dr^2} \)
Con lo que hemos demostrado la primera parte del problema.
Para que se cumpla que el Laplaciano sea nulo, deberemos tener:
    \( \displaystyle \frac{d^2f(r)}{dr^2} = - \frac{2}{r}\frac{df(r)}{dr} \)
y escribiendo df/dr = p tenemos :
    \( \displaystyle \frac{dp}{dr} = - \frac{2}{r}· dp \; \; \Rightarrow \; \; \frac{1}{p}· dp = - \frac{2}{r}· dr \)
Integrando la última ecuación nos queda:
    \( Ln \; p = - 2 · Ln \; r + Ln \; K_1 \; \; \Rightarrow \; \; p · r^2 = K_1 \)
y deshaciendo el cambio:
    \( \displaystyle p = \frac{df(r)}{dr} = \frac{K_1}{r^2} \; \; \Rightarrow \; \; f(r) = \int\frac{K_1}{r^2} · dr = - \frac{1}{r}· K_1 + K_2 \)
Ejercicios resueltos de cálculo vectorial y teoría de campos


tema escrito por: José Antonio Hervás