Ejercicios de cálculo vectorial - Respuesta del ejemplo 20

El operador Laplaciano actúa en la forma:

\( \displaystyle\triangle f(x) = \frac{\partial^2 f(r)}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f(r)}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f(r)}{\partial z^2} \)

Con lo que tendremos :

\( \displaystyle \frac{\partial f(r)}{\partial x} = \frac{\partial f(r)}{\partial r} · \frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{r}\frac{\partial f(r)}{\partial r} \quad \) por ser \(r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\)

Derivando de nuevo:

\( \displaystyle \frac{\partial^2 f(r)}{\partial x^2} = \left(\frac{r-(x^2/r)}{r^2}\right) \frac{df}{dr}+ \left(\frac{x}{r}\right)^2\frac{d^2 f}{dr^2} = \frac{r^2 - x^2}{r^3} · \frac{d f(r)}{dr} + \left(\frac{x}{r}\right)^2\frac{d^2 f}{dr^2} \)

Operando análogamente con las otras variables:

\( \displaystyle \frac{\partial^2 f(r)}{\partial y^2} = \frac{r^2 - y^2}{r^3} · \frac{d f(r)}{dr} + \left(\frac{y}{r}\right)^2\frac{d^2 f}{dr^2} \quad ; \quad \frac{\partial^2 f(r)}{\partial z^2} = \frac{r^2 - z^2}{r^3} · \frac{d f(r)}{dr} + \left(\frac{z}{r}\right)^2\frac{d^2 f}{dr^2} \)

y considerando las tres expresiones:

\( \displaystyle\triangle f(x) = \left( \frac{r^2 - x^2 + r^2 - y^2 + r^2 - z^2}{r^3}\right) \frac{df(r)}{dr} + \left[ \left(\frac{x}{r}\right)^2 + \left(\frac{y}{r}\right)^2 + \left(\frac{z}{r}\right)^2\right]\frac{d^2f(r)}{dr^2} \)

\( \displaystyle = \frac{3r^2 - r^2}{r^3}\frac{df(r)}{dr} + \frac{x^2 + y^2 + z^2}{r^2}\frac{d^2f(r)}{dr^2} = \frac{2}{r}\frac{df(r)}{dr} + \frac{d^2f(r)}{dr^2} \)

Con lo que hemos demostrado la primera parte del problema.
Para que se cumpla que el Laplaciano sea nulo, deberemos tener:

\( \displaystyle \frac{d^2f(r)}{dr^2} = - \frac{2}{r}\frac{df(r)}{dr} \)

y escribiendo df/dr = p tenemos :

\( \displaystyle \frac{dp}{dr} = - \frac{2}{r}· dp \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{p}· dp = - \frac{2}{r}· dr \)

Integrando la última ecuación nos queda:

\( Ln \; p = - 2 · Ln \; r + Ln \; K_1 \quad \Rightarrow \quad p · r^2 = K_1 \)

y deshaciendo el cambio:

\( \displaystyle p = \frac{df(r)}{dr} = \frac{K_1}{r^2} \quad \Rightarrow \quad f(r) = \int\frac{K_1}{r^2} · dr = - \frac{1}{r}· K_1 + K_2 \)