Enunciado
1
Obtener la solución el problema de valores iniciales
y de contorno:
\(\displaystyle \frac{\partial^2u}{\partial t^2} - \frac{\partial^2u}{\partial
x^2} = \sin \frac{\pi}{2}·x \quad ; \quad 0 < x < 1 \; ; \;
t>0\)
\(\displaystyle u(x, 0) = 0 \quad ; \quad \frac{\partial u}{\partial
t}(x, 0) = 0 \quad ; \quad 0 < x < 1 \)
\(\displaystyle u(0, t) = 0 \quad ; \quad \frac{\partial u}{\partial
x}(1, t) = 0 \)
Ver
Solución
Enunciado
2
Decir si son o no lineales los siguientes operadores:
\(\displaystyle a)\quad L(u) \equiv \frac{\partial u}{\partial
t} + x^2·\frac{\partial^2u}{\partial x^2} \quad \quad
; \quad b)\quad L(u) \equiv \frac{\partial u}{\partial t} +
u·\frac{\partial^2u}{\partial x^2} + u \)
\( \displaystyle c)\qquad L(u) \equiv \left(\frac{\partial u}{\partial
t}\right)^2 + \frac{\partial^2u}{\partial x^2} \quad \quad ;
\quad d)\quad L(u) \equiv \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}
- \exp (x^2t)·\frac{\partial^2u}{\partial x^2} + t^2u \)
\( \displaystyle e)\quad L(u) \equiv u· \frac{\partial u}{\partial
y} + \frac{\partial^2u}{\partial x^2} - \frac{\partial u}{\partial
x} = 0 \quad ; \quad f)\quad L(u) \equiv x·\frac{\partial^2
u}{\partial x^2} + y·\frac{\partial^2u}{\partial x^2} + 2u^2
\)
Ver Solución
Enunciado 3
Convertir el problema
\(\displaystyle \frac{\partial^2u}{\partial t^2} - \frac{\partial^2u}{\partial
x^2} = 0 \quad ; \quad 0 < x < 1 \; ; \; t>0\)
\(\displaystyle u(x, 0) \quad ; \quad \frac{\partial u}{\partial
t}(x, 0) = 0 \quad ; \quad 0 < x < 1 \)
\(\displaystyle u(0, t) = \sin^2 t \quad ; \quad \frac{\partial
u}{\partial x}(1, t) = 0 \)
en un problema de condiciones de contorno homogéneas.
Ver Solución
Enunciado 4
Convertir el problema:
\(\displaystyle \frac{\partial^2u}{\partial t^2} - \frac{\partial^2u}{\partial
x^2} = 0 \quad ; \quad 0 < x < 1 \; ; \; t>0\)
\(\displaystyle u(x, 0) = 0 \quad ; \quad \frac{\partial u}{\partial
t}(x, 0) = 0 \quad ; \quad 0 < x < 1 \)
\(\displaystyle u(0, t) = 0 \quad ; \quad \frac{\partial u}{\partial
x}(1, t) = t^2e^t \)
en un problema de condiciones de contorno homogéneas.
Ver
Solución
Enunciado 5
Convertir el problema:
\(\displaystyle \frac{\partial^2u}{\partial t^2} - \frac{\partial^2u}{\partial
x^2} = 0 \quad ; \quad 0 < x < 1 \; ; \; t>0\)
\(\displaystyle u(x, 0) = f_1(x) \quad ; \quad \frac{\partial
u}{\partial t}(x, 0) = f_2(x) \)
\(\displaystyle u(0, t) = f_3(x) \quad ; \quad \frac{\partial
u}{\partial x}(1, t) = f_4(t) \)
en un problema de condiciones de contorno homogéneas.
Ver
Solución
Enunciado 6
Demostrar que el problema tridimensional:
\( \displaystyle \nabla^2 u = \frac{\partial^2u}{\partial x^2}
+ \frac{\partial^2u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2u}{\partial
z^2} = - F(z, y, z) \quad \) en D
Con u = f sobre C, siendo C una superficie cerrada y D su interior,
tiene a lo sumo una solución.
Ver
Solución
Enunciado 7
Demostrar que si C es una curva cerrada derivable con continuidad
a trozos que limita una región D, el problema:
\(\nabla^2 u = - F(z, y, z) \quad ; \quad u = f \; sobre \; C_1 \quad ; \displaystyle \quad \frac{\partial u}{\partial n} + \alpha·u = 0 \quad sobre \; C_2 \)
Donde C1 es una parte de C y C2 la parte
restante y alfa es una constante positiva, tiene a lo sumo una
solución (este problema corresponde a sujetar un soporte
elástico con elasticidad constante alfa a la parte C2
del contorno de una membrana.
Ver
Solución
Enunciado 8
Demostrar que el problema
\(\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\left(e^x·\frac{\partial
u}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(e^y·\frac{\partial
u}{\partial y}\right)=0\)
Para \(x^2 + y^2 < 1 \; y \; u = x^2 \; para \; x^2 + y^2 =
1 \), tiene a lo sumo una solución.
Ver Solución
Ejercicios
y problemas resueltos de ecuaciones diferenciales en derivadas
parciales |
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