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EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES
 
Enunciado 1

Obtener la solución el problema de valores iniciales y de contorno:
    \(\displaystyle \frac{\partial^2u}{\partial t^2} - \frac{\partial^2u}{\partial x^2} = \sin \frac{\pi}{2}·x \; \; ; \; \; 0 < x < 1 \; ; \; t>0\)

    \(\displaystyle u(x, 0) = 0 \; \; ; \; \; \frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = 0 \; \; ; \; \; 0 < x < 1 \)

    \(\displaystyle u(0, t) = 0 \; \; ; \; \; \frac{\partial u}{\partial x}(1, t) = 0 \)
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Enunciado 2

Decir si son o no lineales los siguientes operadores:
    \(\displaystyle a)\; \; L(u) \equiv \frac{\partial u}{\partial t} + x^2·\frac{\partial^2u}{\partial x^2} \; \; \; \; ; \; \; b)\; \; L(u) \equiv \frac{\partial u}{\partial t} + u·\frac{\partial^2u}{\partial x^2} + u \)

    \( \displaystyle c)\; \; \; L(u) \equiv \left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)^2 + \frac{\partial^2u}{\partial x^2} \; \; \; \; ; \; \; d)\; \; L(u) \equiv \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - \exp (x^2t)·\frac{\partial^2u}{\partial x^2} + t^2u \)

    \( \displaystyle e)\; \; L(u) \equiv u· \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial^2u}{\partial x^2} - \frac{\partial u}{\partial x} = 0 \; \; ; \; \; f)\; \; L(u) \equiv x·\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + y·\frac{\partial^2u}{\partial x^2} + 2u^2 \)
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Enunciado 3

Convertir el problema
    \(\displaystyle \frac{\partial^2u}{\partial t^2} - \frac{\partial^2u}{\partial x^2} = 0 \; \; ; \; \; 0 < x < 1 \; ; \; t>0\)

    \(\displaystyle u(x, 0) \; \; ; \; \; \frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = 0 \; \; ; \; \; 0 < x < 1 \)

    \(\displaystyle u(0, t) = \sin^2 t \; \; ; \; \; \frac{\partial u}{\partial x}(1, t) = 0 \)
en un problema de condiciones de contorno homogéneas.
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Enunciado 4

Convertir el problema:
    \(\displaystyle \frac{\partial^2u}{\partial t^2} - \frac{\partial^2u}{\partial x^2} = 0 \; \; ; \; \; 0 < x < 1 \; ; \; t>0\)

    \(\displaystyle u(x, 0) = 0 \; \; ; \; \; \frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = 0 \; \; ; \; \; 0 < x < 1 \)

    \(\displaystyle u(0, t) = 0 \; \; ; \; \; \frac{\partial u}{\partial x}(1, t) = t^2e^t \)
en un problema de condiciones de contorno homogéneas.
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Enunciado 5

Convertir el problema:
    \(\displaystyle \frac{\partial^2u}{\partial t^2} - \frac{\partial^2u}{\partial x^2} = 0 \; \; ; \; \; 0 < x < 1 \; ; \; t>0\)

    \(\displaystyle u(x, 0) = f_1(x) \; \; ; \; \; \frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = f_2(x) \)

    \(\displaystyle u(0, t) = f_3(x) \; \; ; \; \; \frac{\partial u}{\partial x}(1, t) = f_4(t) \)
en un problema de condiciones de contorno homogéneas.
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Enunciado 6

Demostrar que el problema tridimensional:
    \( \displaystyle \nabla^2 u = \frac{\partial^2u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2u}{\partial z^2} = - F(z, y, z) \; \; \) en D
Con u = f sobre C, siendo C una superficie cerrada y D su interior, tiene a lo sumo una solución.

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Enunciado 7

Demostrar que si C es una curva cerrada derivable con continuidad a trozos que limita una región D, el problema:
    \(\nabla^2 u = - F(z, y, z) \; \; ; \; \; u = f \; sobre \; C_1 \; \; ; \displaystyle \; \; \frac{\partial u}{\partial n} + \alpha·u = 0 \; \; sobre \; C_2 \)
Donde C1 es una parte de C y C2 la parte restante y alfa es una constante positiva, tiene a lo sumo una solución (este problema corresponde a sujetar un soporte elástico con elasticidad constante alfa a la parte C2 del contorno de una membrana.

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Enunciado 8

Demostrar que el problema
    \(\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\left(e^x·\frac{\partial u}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(e^y·\frac{\partial u}{\partial y}\right)=0\)
Para \(x^2 + y^2 < 1 \; y \; u = x^2 \; para \; x^2 + y^2 = 1 \), tiene a lo sumo una solución.

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Demostrar que si u es una función tal que
    \(\displaystyle \frac{d^2 u}{dx^2} + A(x)\frac{du}{dx} + B(x)u = 0\)
Con B(x) < 0 para 0 < x < 1, y si u(0) y u(1) son menores o iguales a 0, entonces:
    \(u(x) \leq 0 \; \; \; \forall x \in [0, 1]\)
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Enunciado 10

Demostrar que si u es una función continua en D + C y
    \(\displaystyle \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} - e^{x+y} = 0 \; \; en \; D\)

    \(u\leq 0 \; \; sobre \; C \)
Entonces u ≤ 0 en D.

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Ejercicios y problemas resueltos de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
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tema escrito por: José Antonio Hervás