PROBLEMAS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
ejercicios sobre ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ejercicios de ecuaciones en derivadas parciales - Respuesta del ejemplo 08

Si v es la diferencia entre dos soluciones del problema, se tendrá
    \( \displaystyle \frac{\partial}{\partial x} \left (e^x \frac{\partial v}{\partial x} \right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(e^y \frac{\partial v}{\partial y}\right) = 0\)
Para x2 + y2 < 1 y v = 0 para x2 + y2 = 1.

Por otro lado tenemos:
    \( \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\left(ve^x \frac{\partial v}{\partial x} \right) = e^x \left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)^2 + v \frac{\partial}{\partial x} \left(e^x \frac{\partial v}{\partial x} \right)\)

    \( \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}\left(ve^y\frac{\partial v}{\partial y} \right) = e^y \left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)^2 + v \frac{\partial}{\partial y} \left(e^y\frac{\partial v}{\partial y} \right)\)
Con lo que podemos escribir, por aplicación del teorema de la divergencia:
    \( 0 = \displaystyle \iint \limits _{x^2 + y^2 < 1} v \left[\frac{\partial}{\partial x} \left (e^x \frac{\partial v}{\partial x} \right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(e^y \frac{\partial v}{\partial y}\right)\right]dxdy = \)

    \( = \displaystyle \iint \limits _{x^2 + y^2 < 1} \left[ \frac{\partial}{\partial x}\left(ve^x \frac{\partial v}{\partial x} \right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(ve^y \frac{\partial v}{\partial y} \right) - e^x \left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)^2 - e^y \left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)^2\right]dxdy\)

    \( = \displaystyle \oint \limits _{x^2 + y^2 = 1} \left[\left(ve^x \frac{\partial v}{\partial x}n_x \right) + \left(ve^y \frac{\partial v}{\partial y}n_y \right)\right]ds - \)

    \( - \displaystyle \iint \limits _{x^2 + y^2 < 1} \left[ e^x \left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)^2 + e^y \left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)^2\right]dxdy = - \iint \limits _{x^2 + y^2 < 1} \left[ e^x \left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)^2 + e^y \left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)^2\right]dxdy \)
Y el último término ha resultado por ser v = 0 en x² + y² = 1.
Puesto que el integrando es no negativo resulta que debe ser idénticamente nulo y podemos escribir:
    \(\begin{array}{l} \left(e^x \hat{i} + e^y \hat{j}\right) \displaystyle \left[\left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)^2 \hat{i} + \left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)^2 \hat{j}\right] \\  \\ \left[\left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)^2 \hat{i} + \left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)^2 \hat{j}\right] = 0 \; \; \Rightarrow \; \; v = Cte \end{array}\)
Y al ser v = 0 en la frontera, será v = 0 en todo el dominio y, consecuentemente, las dos soluciones supuestas equivalentes y una sola.
EJERCICIOS-ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES


tema escrito por: José Antonio Hervás