Demostrar
que el problema
Para x2 + y2 < 1 y u = x2 para x2 + y2 = 1, tiene a lo sumo una solución.
Si v es la diferencia entre dos soluciones del problema, se tendrá
Para x2 + y2 < 1 y v = 0 para x2 + y2 = 1.
Por otro lado tenemos:
Con lo que podemos escribir, por aplicación del teorema de la divergencia:
Y el último término ha resultado por ser v = 0 en x2 + y2 = 1.
Puesto que el integrando es no negativo resulta que debe ser idénticamente nulo y podemos escribir:
Y al ser v = 0 en la frontera, será v = 0 en todo el dominio y, consecuentemente, las dos soluciones supuestas equivalentes y una sola.
Para x2 + y2 < 1 y u = x2 para x2 + y2 = 1, tiene a lo sumo una solución.
Respuesta
Si v es la diferencia entre dos soluciones del problema, se tendrá
Para x2 + y2 < 1 y v = 0 para x2 + y2 = 1.
Por otro lado tenemos:
Con lo que podemos escribir, por aplicación del teorema de la divergencia:
Y el último término ha resultado por ser v = 0 en x2 + y2 = 1.
Puesto que el integrando es no negativo resulta que debe ser idénticamente nulo y podemos escribir:
Y al ser v = 0 en la frontera, será v = 0 en todo el dominio y, consecuentemente, las dos soluciones supuestas equivalentes y una sola.