Demostrar
que si C es una curva cerrada derivable con continuidad a trozos que limita
una región D, el problema:
Donde C1 es una parte de C y C2 la parte restante y alfa es una constante positiva, tiene a lo sumo una solución (este problema corresponde a sujetar un soporte elástico con elasticidad constante alfa a la parte C2 del contorno de una membrana.
Sea v la diferencia entre dos soluciones del problema. Tendremos:
Aplicando el teorema de la divergencia a la identidad:
Tenemos:
Pero, sustituyendo el valor del operador laplaciano de v en D y el valor de v sobre C1 y teniendo en cuenta el valor de la derivada parcial de v respecto de n sobre C2, resulta:
Tenemos que cada uno de estos sumandos es no negativo, por ser alfa una constante positiva y el resto de valores estrictamente positivos por ser cuadrados. Por consiguiente, ambos sumandos valdrán 0. Resulta así que v = 0 sobre C2 y v = cte en D. Pero, por hipótesis, teníamos que v = 0 en C1. De ahí que v = 0 en todo C y como v = u2 – u1 sobre C y una función armónica sólo puede tener un máximo o un mínimo sobre el contorno en el que está definida, concluimos que v es idénticamente nula y las dos funciones u1 y u2 son iguales, es decir, el problema planteado tiene una única solución.
Donde C1 es una parte de C y C2 la parte restante y alfa es una constante positiva, tiene a lo sumo una solución (este problema corresponde a sujetar un soporte elástico con elasticidad constante alfa a la parte C2 del contorno de una membrana.
Respuesta
Sea v la diferencia entre dos soluciones del problema. Tendremos:
Aplicando el teorema de la divergencia a la identidad:
Tenemos:
Pero, sustituyendo el valor del operador laplaciano de v en D y el valor de v sobre C1 y teniendo en cuenta el valor de la derivada parcial de v respecto de n sobre C2, resulta:
Tenemos que cada uno de estos sumandos es no negativo, por ser alfa una constante positiva y el resto de valores estrictamente positivos por ser cuadrados. Por consiguiente, ambos sumandos valdrán 0. Resulta así que v = 0 sobre C2 y v = cte en D. Pero, por hipótesis, teníamos que v = 0 en C1. De ahí que v = 0 en todo C y como v = u2 – u1 sobre C y una función armónica sólo puede tener un máximo o un mínimo sobre el contorno en el que está definida, concluimos que v es idénticamente nula y las dos funciones u1 y u2 son iguales, es decir, el problema planteado tiene una única solución.