PROBLEMAS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
ejercicios sobre ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ejercicios de ecuaciones en derivadas parciales - Respuesta del ejemplo 07

Sea v la diferencia entre dos soluciones del problema. Tendremos:
    \( \displaystyle \nabla ^2 v = 0 \, en \, D \; \; ; \; \; u = 0 \, sobre \, C_1 \; \; ; \; \; \frac{\partial u}{\partial n} + \alpha u = 0 \; sobre \; C_2\)
Aplicando el teorema de la divergencia a la identidad:
    \(v\nabla ^2 v = vdiv(grad \, v) = div(vgrad \, v) - |grad \, v|^2\)
Tenemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \iint \limits _D v\nabla ^2 vdxdydz = \oint \limits _{C_1} v\frac{\partial v}{\partial n}ds + \\  \\ + \oint \limits _{C_2} v\frac{\partial v}{\partial n}ds - \iint \limits _D |grad v|^2dxdydz \end{array} \)
Pero, sustituyendo el valor del operador laplaciano de v en D y el valor de v sobre C1 y teniendo en cuenta el valor de la derivada parcial de v respecto de n sobre C2, resulta:
    \(\oint \limits _{C_2}\alpha v^2 ds + \iint \limits _D |grad v|^2dxdydz = 0 \)
Tenemos que cada uno de estos sumandos es no negativo, por ser alfa una constante positiva y el resto de valores estrictamente positivos por ser cuadrados. Por consiguiente, ambos sumandos valdrán 0. Resulta así que v = 0 sobre C2 y v = cte en D. Pero, por hipótesis, teníamos que v = 0 en C1. De ahí que v = 0 en todo C y como v = u2 – u1 sobre C y una función armónica sólo puede tener un máximo o un mínimo sobre el contorno en el que está definida, concluimos que v es idénticamente nula y las dos funciones u1 y u2 son iguales, es decir, el problema planteado tiene una única solución.
EJERCICIOS-ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES


tema escrito por: José Antonio Hervás