Ejercicios de ecuaciones en derivadas
parciales - Respuesta del ejemplo 03
Nos conviene construir una función v(x, t) que satisfaga
al menos las dos condiciones de contorno dadas, v(o, t) = sen2 t
; v(1, t) = 0. Fácilmente vemos que esa función puede
ser :
\(v(x, t) = (1 - x)· \sin ^2 t\)
tomamos entonces:
\( w(x, t) = u(x, t) - v(x, t)\)
con lo que la ecuación diferencial y las condiciones se transforman
como sigue :
\( \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial
w}{\partial x } - \sin^2 t \; \; \; ; \; \; \; \frac{\partial^2
u}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 w}{\partial x^2 }\)
\( \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial
w}{\partial t } + (1-x)· \sin 2 t \; \; \; ; \; \; \; \frac{\partial^2
u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} + 2(1-x)·
\cos 2t \)
Sustituyendo estos valores obtenemos:
\( \displaystyle \frac{\partial^2 w}{\partial t^2} + 2(1-x) \cos
2t - \frac{\partial ^2 w}{\partial x^2 } = 0 \; \; ; \; \; \frac{\partial^2
w}{\partial t^2} - \frac{\partial ^2 w}{\partial x^2 } = - 2(1-x)
\cos 2t \)
\( w(x, 0) = u(x, 0) - v(x, 0) = 0 \)
\(\displaystyle \frac{\partial w}{\partial t } = \frac{\partial
u}{\partial t } - \frac{\partial v}{\partial t } = \frac{\partial
u}{\partial t }-(1-x)· \sin 2 t \; \; ; \; \; \left.\frac{\partial
w}{\partial t}\right|_0 = 0\)
Una vez obtenida la solución para w(x,t), la función
original vendrá dada por:
\( u(x, t) = w(x, t) + v(x, t)\)
El método para obtener w(x,t) es análogo al de otros
casos de ecuaciones no homogéneas.