PROBLEMAS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
ejercicios sobre ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ejercicios de ecuaciones en derivadas parciales - Respuesta del ejemplo 03

Nos conviene construir una función v(x, t) que satisfaga al menos las dos condiciones de contorno dadas, v(o, t) = sen2 t ; v(1, t) = 0. Fácilmente vemos que esa función puede ser :
    \(v(x, t) = (1 - x) \sin ^2 t\)
tomamos entonces:
    \( w(x, t) = u(x, t) - v(x, t)\)
con lo que la ecuación diferencial y las condiciones se transforman como sigue :
    \( \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial w}{\partial x } - \sin^2 t \; \; \; ; \; \; \; \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 w}{\partial x^2 }\)

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial w}{\partial t } + (1-x) \sin 2 t \; \; \; ; \; \\  \\ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} + 2(1-x) \cos 2t \end{array} \)
Sustituyendo estos valores obtenemos:
    \( \displaystyle\begin{array}{l}
    \frac{\partial^2 w}{\partial t^2} + 2(1-x) \cos 2t - \frac{\partial ^2 w}{\partial x^2 } = 0 \; \\
     \\
    \frac{\partial^2 w}{\partial t^2} - \frac{\partial ^2 w}{\partial x^2 } = - 2(1-x) \cos 2t
    \end{array} \)

    \( w(x, 0) = u(x, 0) - v(x, 0) = 0 \)

    \(\displaystyle \frac{\partial w}{\partial t } = \frac{\partial u}{\partial t } - \frac{\partial v}{\partial t } = \frac{\partial u}{\partial t }-(1-x) \sin 2 t \; \; ; \; \; \left.\frac{\partial w}{\partial t}\right|_0 = 0\)
Una vez obtenida la solución para w(x,t), la función original vendrá dada por:
    \( u(x, t) = w(x, t) + v(x, t)\)
El método para obtener w(x,t) es análogo al de otros casos de ecuaciones no homogéneas.
EJERCICIOS-ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES


tema escrito por: José Antonio Hervás