PROBLEMAS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
ejercicios sobre ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ejercicios de ecuaciones en derivadas parciales - Respuesta del ejemplo 04

En primer lugar consideramos una función v(x, t) que verifique las dos condiciones de contorno. Si ponemos:
    \( \displaystyle v(x, t) = \frac{x^2}{2}t^2 e^t\)
resulta:
    \( \displaystyle v(0, t) = 0 \; \; ; \; \; \left.\frac{\partial v}{\partial x} (1, t) = xt^2 e^t \right|_{(1,t)} = t^2 e^t\)
La razón de haber tomado la función escrita se debe a que en la segunda condición de contorno tenemos la derivada.
Con el cambio hecho tomamos:
    \( w(x, t) = u(t, x) - v(x, t)\)
y nos queda:
    \( \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial w}{\partial x } + xt^2e^t \; \; \; ; \; \; \; \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 w}{\partial x^2 } + t^2e^t\)

    \( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial w}{\partial t } + \frac{1}{2} x^2 \left(2te^t + t^2e^t\right) \\  \\ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 w}{\partial t^2} +\frac{1}{2} x^2 \left(2e^t + 4te^t + t^2e^t\right) \end{array} \)
Con lo que sustituyendo en la ecuación inicial, esta se transforma en:
    \(\displaystyle \frac{\partial^2 w}{\partial t^2} - \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} = \left[t^2 - \frac{x^2}{2}(t^2 + 4t + 2)\right]e^t\)
y las condiciones iniciales y de contorno se hacen homogéneas:
    \( \displaystyle w(x, 0) = 0 \; ; \; \frac{\partial w}{\partial t}(x, 0) = 0 \; \; ; \; \; w(0, t) = 0 \; ; \; \frac{\partial w}{\partial x}(1, t) = 0\)
EJERCICIOS-ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES


tema escrito por: José Antonio Hervás