|
Ejercicios
de ecuaciones en derivadas parciales - Respuesta del ejemplo 04
En primer lugar consideramos una función v(x, t) que verifique
las dos condiciones de contorno. Si ponemos:
\( \displaystyle v(x, t) = \frac{x^2}{2}·t^2 e^t\)
resulta:
\( \displaystyle v(0, t) = 0 \; \; ; \; \; \left.\frac{\partial
v}{\partial x} (1, t) = x·t^2 e^t \right|_{(1,t)} = t^2 e^t\)
La razón de haber tomado la función escrita se debe
a que en la segunda condición de contorno tenemos la derivada.
Con el cambio hecho tomamos:
\( w(x, t) = u(t, x) - v(x, t)\)
y nos queda:
\( \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial
w}{\partial x } + x·t^2e^t \; \; \; ; \; \; \; \frac{\partial^2
u}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 w}{\partial x^2 } + t^2e^t\)
\( \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial
w}{\partial t } + \frac{1}{2}· x^2 \left(2te^t + t^2e^t\right)
\; \; \; ; \; \; \; \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2
w}{\partial t^2} +\frac{1}{2}· x^2 \left(2e^t + 4te^t +
t^2e^t\right) \)
Con lo que sustituyendo en la ecuación inicial, esta se
transforma en:
\(\displaystyle \frac{\partial^2 w}{\partial t^2} - \frac{\partial^2
w}{\partial x^2} = \left[t^2 - \frac{x^2}{2}(t^2 + 4t + 2)\right]e^t\)
y las condiciones iniciales y de contorno se hacen homogéneas:
\( \displaystyle w(x, 0) = 0 \; \; ; \; \; \frac{\partial w}{\partial t}(x, 0) = 0 \; \; ; \; \; w(0, t) = 0 \; \; ; \; \;
\frac{\partial w}{\partial x}(1, t) = 0\)
Ejercicios
resueltos - problemas resueltos - ECUACIONES EN DERIVADAS
PARCIALES |
|
|
| |
|