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DE ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES

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Enunciado 11

Transformar las siguientes ecuaciones a una forma en la que contengan el operador de ondas (forma canónica del operador hiperbólico), de difusión (forma canónica del operador hiperbólico) o de Laplace (forma canónica del operador elíptico):
    \(\displaystyle \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial x \partial t} - \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} + 7\frac{\partial u}{\partial x}- 8\frac{\partial u}{\partial t} + e^{xt} = 0 \)

    \(\displaystyle \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial x \partial y} - 2\frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} = 0 \)

    \(\displaystyle \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial x \partial y} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} + 7\frac{\partial u}{\partial x}- 8\frac{\partial u}{\partial y} = 0 \)
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Enunciado 12

Obtener la ecuación de las características de las siguientes ecuaciones:
    \(\displaystyle \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + 2 \frac{\partial ^2 u}{\partial x \partial y} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} = 0 \)

    \(\displaystyle \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + 3 \frac{\partial ^2 u}{\partial x \partial y} + 2\frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} = 0 \)

    \(\displaystyle \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + 4 \frac{\partial ^2 u}{\partial x \partial y} + 5 \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} = 0 \)
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Enunciado 13

Hallar donde son hiperbólicos, parabólicos y elípticos los siguientes operadores.
    \(\displaystyle \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} + t \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + x \frac{\partial u}{\partial x} \)

    \(\displaystyle x^2 \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} - \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2 } + u \)

    \(\displaystyle t^2 \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} + 2 \frac{\partial ^2 u}{\partial x \partial t} + x \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial u}{\partial x} \)
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Enunciado 14

Hallar las características de las siguientes ecuaciones:
    \(\displaystyle \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} - t \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} \)

    \(\displaystyle x^2 \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} + 2e^x \frac{\partial ^2 u}{\partial x \partial t} + e^{2x} \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \cos x \frac{\partial u}{\partial t} + \sin x \frac{\partial u}{\partial x} + x^2u \)

    \(\displaystyle \left(\cos ^2 x - \sin ^2 x\right) \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} + 2 \cos x \frac{\partial ^2 u}{\partial x \partial t} + \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + u \)
Que pasan por el punto (0, 1)
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Enunciado 15

Demostrar que el problema
    \(\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\left((1+x^2)·\frac{\partial u}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left((1+x^2+y^2)·\frac{\partial u}{\partial y}\right) - e^xu = 1\)
Para \(x^2 + y^2 < 2 \; y \; u = e^y \; para \; x^2 + y^2 = 2 \), tiene a lo sumo una solución.
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Enunciado 16

Obtener la solución del problema de valores iniciales y de contorno:
    \(\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} = 0 \; \; 0 < x < 1 \; \; ; \; \; t > 0\)
Con las condiciones iniciales:
    \(u(x, 0) = \sin \pi x \; \; ; \; \; u_t(x, 0) = \cos \pi x \; \; \; para \; 0 \leq x \leq 1\)
Y las condiciones de contorno:
    \(u(0, t) = 0 \; \; ; \; \; u(1, t) = 0 \; \; \; para \; t \geq 0\)
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Enunciado 17

Resolver el siguiente problema de ecuaciones en derivadas parciales por el método de separación de variables:
    \(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} = 4 \frac{\partial u}{\partial y} \; \; ; \; \; u(0, y) = 8e^{-3y}\)
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Enunciado 18

Resolver la ecuación diferencial en derivadas parciales:
    \(\displaystyle (x^2 - y^2 - z^2) \frac{\partial z}{\partial x} + 2xy \frac{\partial z}{\partial y} = 2xz\)
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Enunciado 19

Comprobar que la solución de la ecuación:
    \(\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} = z^2\)
Que pasa por x = t ; y = - t ; z = t, se hace infinita en la curva \( x^2 - y^2 = 4 \)
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Enunciado 20

Resolver la ecuación:
    \(\displaystyle x\frac{\partial z}{\partial x} - y\frac{\partial z}{\partial y} = 0\)
Sabiendo que pasa por la curva \( x = 0 \; ; \; z = y^2 \).
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Problemas resueltos de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
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tema escrito por: José Antonio Hervás