Enunciado 9
Demostrar que si u es una función tal que
\(\displaystyle \frac{d^2 u}{dx^2} + A(x)\frac{du}{dx} + B(x)u
= 0\)
Con B(x) < 0 para 0 < x < 1, y si u(0) y u(1) son menores
o iguales a 0, entonces:
\(u(x) \leq 0 \qquad \forall x \in [0, 1]\)
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Enunciado 10
Demostrar que si u es una función continua en D + C y
\(\displaystyle \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial
^2 u}{\partial y^2} - e^{x+y} = 0 \quad en \; D\)
\(u\leq 0 \quad sobre \; C \)
Entonces u ≤ 0 en D.
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Enunciado 11
Transformar las siguientes ecuaciones a una forma en la que contengan
el operador de ondas (forma canónica del operador hiperbólico),
de difusión (forma canónica del operador hiperbólico)
o de Laplace (forma canónica del operador elíptico):
\(\displaystyle \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial x \partial t} - \frac{\partial
^2 u}{\partial t^2} + 7\frac{\partial u}{\partial x}- 8\frac{\partial u}{\partial t} + e^{xt} = 0 \)
\(\displaystyle \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial x \partial y} - 2\frac{\partial
^2 u}{\partial y^2} = 0 \)
\(\displaystyle \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial x \partial y} + \frac{\partial
^2 u}{\partial y^2} + 7\frac{\partial u}{\partial x}- 8\frac{\partial u}{\partial y} = 0 \)
Ver Solución
Enunciado 12
Obtener la ecuación de las características de las
siguientes ecuaciones:
\(\displaystyle \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + 2 \frac{\partial
^2 u}{\partial x \partial y} + \frac{\partial ^2 u}{\partial
y^2} = 0 \)
\(\displaystyle \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + 3 \frac{\partial
^2 u}{\partial x \partial y} + 2\frac{\partial ^2 u}{\partial
y^2} = 0 \)
\(\displaystyle \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + 4 \frac{\partial
^2 u}{\partial x \partial y} + 5 \frac{\partial ^2 u}{\partial
y^2} = 0 \)
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Enunciado 13
Hallar donde son hiperbólicos, parabólicos y elípticos
los siguientes operadores.
\(\displaystyle \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} + t \frac{\partial
^2 u}{\partial x^2} + x \frac{\partial u}{\partial x} \)
\(\displaystyle x^2 \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} - \frac{\partial
^2 u}{\partial x^2 } + u \)
\(\displaystyle t^2 \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} + 2 \frac{\partial
^2 u}{\partial x \partial t} + x \frac{\partial ^2 u}{\partial
x^2} + \frac{\partial u}{\partial x} \)
Ver Solución
Enunciado 14
Hallar las características de las siguientes ecuaciones:
\(\displaystyle \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} - t \frac{\partial
^2 u}{\partial x^2} \)
\(\displaystyle x^2 \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} + 2e^x
\frac{\partial ^2 u}{\partial x \partial t} + e^{2x} \frac{\partial
^2 u}{\partial x^2} + \cos x \frac{\partial u}{\partial t} +
\sin x \frac{\partial u}{\partial x} + x^2u \)
\(\displaystyle \left(\cos ^2 x - \sin ^2 x\right) \frac{\partial
^2 u}{\partial t^2} + 2 \cos x \frac{\partial ^2 u}{\partial
x \partial t} + \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + u \)
Que pasan por el punto (0, 1)
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Enunciado 15
Demostrar que el problema
\(\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\left((1+x^2)·\frac{\partial
u}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left((1+x^2+y^2)·\frac{\partial
u}{\partial y}\right) - e^xu = 1\)
Para \(x^2 + y^2 < 2 \; y \; u = e^y \; para \; x^2 + y^2 =
2 \), tiene a lo sumo una solución.
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Enunciado 16
Obtener la solución del problema de valores iniciales y
de contorno:
\(\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} = 0 \quad 0 < x < 1 \quad ; \quad t > 0\)
Con las condiciones iniciales:
\(u(x, 0) = \sin \pi x \quad ; \quad u_t(x, 0) = \cos \pi x \qquad para \; 0 \leq x \leq 1\)
Y las condiciones de contorno:
\(u(0, t) = 0 \quad ; \quad u(1, t) = 0 \qquad para \; t \geq 0\)
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Ejercicios
y problemas resueltos de ecuaciones diferenciales en derivadas
parciales |
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