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Ejercicios de ecuaciones en derivadas parciales - Respuesta
del ejemplo 01
Una solución de la ecuación homogénea será:
\(u_k(x, t) = \phi_1(x+t) + \phi_2(x-t)\)
Para obtener una solución particular de la completa ensayamos:
\( \displaystyle \sin \frac{\pi·x}{2} = \frac{1}{2i} \left[\exp\left(i·\frac{\pi·x}{2}\right)
- \exp\left(- i·\frac{\pi·x}{2}\right)\right]\)
\( \displaystyle \; \; \;\; \; \;\; \; \; \Rightarrow \; \; z_p = K_1\exp\left(i·\frac{\pi·x}{2}\right) + K_2 \exp\left(- i·\frac{\pi·x}{2}\right)\)
y si se ha de cumplir:
\(\phi(\alpha, \beta) \neq 0 \; \; \Rightarrow \; \; \left(\alpha^2 - \beta^2 \right)\left(\alpha_i, \beta_i\right) \neq 0 \)
para K1 tenemos:
\( \displaystyle \left(\alpha^2 - \beta^2 \right)\left(0, i·\pi/2\right)
= \frac{\pi^2}{4} \neq 0 \; \; \Rightarrow \; \; K_1 = \frac{1/2i}{\phi\left(0,
i·\pi/2\right)} = \frac{4}{\pi^2}·\frac{1}{2i} \)
Análogamente, para K2 :
\( \displaystyle \left(\alpha^2 - \beta^2 \right)\left(0, -
i·\pi/2\right) = \frac{\pi^2}{4} \neq 0 \; \; \Rightarrow \; \;
K_2 = \frac{-1/2i}{\phi\left(0, i·\pi/2\right)} =- \frac{4}{\pi^2}·\frac{1}{2i}
\)
y la solución general será:
\( \displaystyle u(x, t) = \phi_1(x+t) + \phi_2(x-t) + \frac{4}{\pi^2}·\sin \frac{\pi·x}{2} \)
Para encontrar la solución particular que verifique las
condiciones iniciales y de contorno dadas, hacemos:
\( \displaystyle u(x, 0) = \phi_1(x) + \phi_2(x) + \frac{4}{\pi^2}·\sin
\frac{\pi·x}{2} = 0 \)
Derivando esta expresión respecto a x:
\( \displaystyle u'_x(x, 0) = \phi'_1(x) + \phi'_2(x) + \frac{2}{\pi}·\cos
\frac{\pi·x}{2} = 0 \)
por otra parte:
\( u'_t(x, t) = \phi'_1(x) - \phi'_2(x) = 0 \)
Sumando y restando las dos expresiones anteriores, resulta:
\( \displaystyle \phi'_1(x) = -\frac{1}{\pi}·\cos \frac{\pi·x}{2} \; \; \Rightarrow \; \; \phi_1(x) =
-\frac{1}{\pi^2}·\sin \frac{\pi·x}{2} \)
\( \displaystyle \phi'_2(x) = -\frac{1}{\pi}·\cos \frac{\pi·x}{2} \; \; \Rightarrow \; \; \phi_2(x) =
-\frac{1}{\pi^2}·\sin \frac{\pi·x}{2} \)
y finalmente :
\( \displaystyle u_k(x, t) = \frac{4}{\pi^2}·\sin \frac{\pi·x}{2} - \frac{2}{\pi^2}·\sin \frac{\pi·(x+t)}{2} -
\frac{2}{\pi^2}·\sin \frac{\pi·(x-t)}{2} \)
\(\displaystyle \; \; \; \; \; \; \; \; \; = \frac{4}{\pi^2}·\sin \frac{\pi·x}{2}\left(1
- \cos \frac{\pi · t}{2}\right) \)
Ejercicios
resueltos - problemas resueltos - ECUACIONES EN DERIVADAS
PARCIALES |
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