PROBLEMAS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
ejercicios sobre ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ejercicios de ecuaciones en derivadas parciales - Respuesta del ejemplo 01

Una solución de la ecuación homogénea será:
    \(u_k(x, t) = \phi_1(x+t) + \phi_2(x-t)\)
Para obtener una solución particular de la completa ensayamos:
    \( \displaystyle \sin \frac{\pix}{2} = \frac{1}{2i} \left[\exp\left(i\frac{\pix}{2}\right) - \exp\left(- i\frac{\pix}{2}\right)\right]\)

    \( \displaystyle \; \; \;\; \; \;\; \; \; \Rightarrow \; \; z_p = K_1\exp\left(i\frac{\pix}{2}\right) + K_2 \exp\left(- i\frac{\pix}{2}\right)\)
y si se ha de cumplir:
    \(\phi(\alpha, \beta) \neq 0 \; \; \Rightarrow \; \; \left(\alpha^2 - \beta^2 \right)\left(\alpha_i, \beta_i\right) \neq 0 \)
para K1 tenemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \left(\alpha^2 - \beta^2 \right)\left(0, i\pi/2\right) = \frac{\pi^2}{4} \neq 0 \; \; \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow K_1 = \frac{1/2i}{\phi\left(0, i\pi/2\right)} = \frac{4}{\pi^2}\frac{1}{2i} \end{array} \)
Análogamente, para K2 :
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \left(\alpha^2 - \beta^2 \right)\left(0, - i\pi/2\right) = \frac{\pi^2}{4} \neq 0 \; \; \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow K_2 = \frac{-1/2i}{\phi\left(0, i\pi/2\right)} =- \frac{4}{\pi^2}\frac{1}{2i} \end{array} \)
y la solución general será:
    \( \displaystyle u(x, t) = \phi_1(x+t) + \phi_2(x-t) + \frac{4}{\pi^2}\sin \frac{\pix}{2} \)
Para encontrar la solución particular que verifique las condiciones iniciales y de contorno dadas, hacemos:
    \( \displaystyle u(x, 0) = \phi_1(x) + \phi_2(x) + \frac{4}{\pi^2}\sin \frac{\pix}{2} = 0 \)
Derivando esta expresión respecto a x:
    \( \displaystyle u'_x(x, 0) = \phi'_1(x) + \phi'_2(x) + \frac{2}{\pi}\cos \frac{\pix}{2} = 0 \)
por otra parte:
    \( u'_t(x, t) = \phi'_1(x) - \phi'_2(x) = 0 \)
Sumando y restando las dos expresiones anteriores, resulta:
    \( \displaystyle \phi'_1(x) = -\frac{1}{\pi}\cos \frac{\pix}{2} \; \; \Rightarrow \; \; \phi_1(x) = -\frac{1}{\pi^2}\sin \frac{\pix}{2} \)

    \( \displaystyle \phi'_2(x) = -\frac{1}{\pi}\cos \frac{\pix}{2} \; \; \Rightarrow \; \; \phi_2(x) = -\frac{1}{\pi^2}\sin \frac{\pix}{2} \)
y finalmente :
    \( \displaystyle u_k(x, t) = \frac{4}{\pi^2}\sin \frac{\pix}{2} - \frac{2}{\pi^2}\sin \frac{\pi(x+t)}{2} - \frac{2}{\pi^2}\sin \frac{\pi(x-t)}{2} =\)

    \(\displaystyle = \frac{4}{\pi^2}\sin \frac{\pix}{2}\left(1 - \cos \frac{\pi t}{2}\right) \)
EJERCICIOS-ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
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tema escrito por: José Antonio Hervás