Ejercicios de ecuaciones en derivadas parciales - Respuesta del ejemplo 06

Consideremos que V es la diferencia entre dos soluciones u₁ y u₂ del problema. Tenemos entonces

\(\nabla ^2 v = \nabla ^2(u_2 - u_1) = \nabla ^2 u_2 - \nabla ^2 u_1 = - F(x, y, z) + F(x, y, z) = 0 \quad \) en D

\(v = u_2 - u_1 = f - f = 0 \quad \) sobre C

Aplicando el teorema de la divergencia a la identidad:

\(v·\nabla ^2 v = v·div(grad \, v) = div(v·grad \, v) - |grad \, v|^2\)

Tenemos:

\( \displaystyle \iint \limits _D v·\nabla ^2 v·dxdydz = \oint \limits _C v·\frac{\partial v}{\partial n}·ds - \iint \limits _D |grad v|^2dxdydz\ )

Pero sustituyendo el valor del operador laplaciano de v en D y el valor de v sobre C resulta:

\( \displaystyle \iint \limits _D |grad v|^2dxdydz = 0 \quad \Rightarrow \quad \iint \limits _D \left[\left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)^2 + \left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)^2\right]dxdydz = 0 \)

Puesto que el integrando es no negativo concluimos que ha de ser idénticamente nulo. Resulta entonces que v es constante. Pero como v = u₂ – u₁ sobre C y una función armónica sólo puede tener un máximo o un mínimo sobre el contorno en el que está definida, concluimos que v es idénticamente nula y las dos funciones u₁ y u₂ son iguales.