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Ejercicios
de ecuaciones en derivadas parciales - Respuesta del ejemplo 06
Consideremos que V es la diferencia entre dos soluciones u1
y u2 del problema. Tenemos entonces
\(\nabla ^2 v = \nabla ^2(u_2 - u_1) = \nabla ^2 u_2 - \nabla ^2 u_1 = - F(x, y, z) + F(x, y, z) = 0 \; \; \) en D
\(v = u_2 - u_1 = f - f = 0 \; \; \) sobre C
Aplicando el teorema de la divergencia a la identidad:
\(v·\nabla ^2 v = v·div(grad \, v) = div(v·grad \, v) - |grad \,
v|^2\)
Tenemos:
\( \displaystyle \iint \limits _D v·\nabla ^2 v·dxdydz = \oint
\limits _C v·\frac{\partial v}{\partial n}·ds - \iint \limits
_D |grad v|^2dxdydz \)
Pero sustituyendo el valor del operador laplaciano de v en D y
el valor de v sobre C resulta:
\( \displaystyle \iint \limits _D |grad v|^2dxdydz = 0 \; \;
\Rightarrow \; \; \iint \limits _D \left[\left(\frac{\partial
v}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)^2
+ \left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)^2\right]dxdydz
= 0 \)
Puesto que el integrando es no negativo concluimos que ha de ser
idénticamente nulo. Resulta entonces que v es constante.
Pero como v = u2 – u1 sobre C y una
función armónica sólo puede tener un máximo
o un mínimo sobre el contorno en el que está definida,
concluimos que v es idénticamente nula y las dos funciones
u1 y u2 son iguales.
Ejercicios
resueltos - problemas resueltos - ECUACIONES EN DERIVADAS
PARCIALES |
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