PROBLEMAS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
ejercicios sobre ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ejercicios de ecuaciones en derivadas parciales - Respuesta del ejemplo 06

Consideremos que V es la diferencia entre dos soluciones u1 y u2 del problema. Tenemos entonces
    \(\begin{array}{l}
    \nabla ^2 v = \nabla ^2(u_2 - u_1) = \nabla ^2 u_2 - \nabla ^2 u_1 = \\
     \\
    = - F(x, y, z) + F(x, y, z) = 0 \; \; \textrm{ en } D
    \end{array} \)

    \(v = u_2 - u_1 = f - f = 0 \; \; \) sobre C
Aplicando el teorema de la divergencia a la identidad:
    \(v\nabla ^2 v = vdiv(grad \, v) = div(vgrad \, v) - |grad \, v|^2\)
Tenemos:
    \( \displaystyle \iint \limits _D v\nabla ^2 vdxdydz = \oint \limits _C v\frac{\partial v}{\partial n}ds - \iint \limits _D |grad v|^2dxdydz \)
Pero sustituyendo el valor del operador laplaciano de v en D y el valor de v sobre C resulta:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \iint \limits _D |grad v|^2dxdydz = 0 \; \; \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow \; \; \iint \limits _D \left[\left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)^2 + \left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)^2\right]dxdydz = 0 \end{array} \)
Puesto que el integrando es no negativo concluimos que ha de ser idénticamente nulo. Resulta entonces que v es constante. Pero como v = u2 – u1 sobre C y una función armónica sólo puede tener un máximo o un mínimo sobre el contorno en el que está definida, concluimos que v es idénticamente nula y las dos funciones u1 y u2 son iguales.
EJERCICIOS-ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES


tema escrito por: José Antonio Hervás