| MI COLECCIÓN DE PROBLEMAS RESUELTOS : ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES (VOLVER A LOS ENUNCIADOS) | ||
| Demostrar
que el problema tridimensional: Con u = f sobre C, siendo C una superficie cerrada y D su interior, tiene a lo sumo una solución. Respuesta Consideremos que V es la diferencia entre dos soluciones u1 y u2 del problema. Tenemos entonces ![]() Aplicando el teorema de la divergencia a la identidad: Tenemos: Pero sustituyendo el valor del operador laplaciano de v en D y el valor de v sobre C resulta: ![]() Puesto que el integrando es no negativo concluimos que ha de ser idénticamente nulo. Resulta entonces que v es constante. Pero como v = u2 – u1 sobre C y una función armónica sólo puede tener un máximo o un mínimo sobre el contorno en el que está definida, concluimos que v es idénticamente nula y las dos funciones u1 y u2 son iguales. |
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