Demostrar
que el problema tridimensional:
Con u = f sobre C, siendo C una superficie cerrada y D su interior, tiene a lo sumo una solución.
Consideremos que V es la diferencia entre dos soluciones u1 y u2 del problema. Tenemos entonces
Aplicando el teorema de la divergencia a la identidad:
Tenemos:
Pero sustituyendo el valor del operador laplaciano de v en D y el valor de v sobre C resulta:
Puesto que el integrando es no negativo concluimos que ha de ser idénticamente nulo. Resulta entonces que v es constante. Pero como v = u2 – u1 sobre C y una función armónica sólo puede tener un máximo o un mínimo sobre el contorno en el que está definida, concluimos que v es idénticamente nula y las dos funciones u1 y u2 son iguales.
Con u = f sobre C, siendo C una superficie cerrada y D su interior, tiene a lo sumo una solución.
Respuesta
Consideremos que V es la diferencia entre dos soluciones u1 y u2 del problema. Tenemos entonces
Aplicando el teorema de la divergencia a la identidad:
Tenemos:
Pero sustituyendo el valor del operador laplaciano de v en D y el valor de v sobre C resulta:
Puesto que el integrando es no negativo concluimos que ha de ser idénticamente nulo. Resulta entonces que v es constante. Pero como v = u2 – u1 sobre C y una función armónica sólo puede tener un máximo o un mínimo sobre el contorno en el que está definida, concluimos que v es idénticamente nula y las dos funciones u1 y u2 son iguales.