PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMATICAS
ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.

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Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

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Ejercicios de ecuaciones en derivadas parciales

Convertir el problema:
    \(\displaystyle \frac{\partial^2u}{\partial t^2} - \frac{\partial^2u}{\partial x^2} = 0 \; \; ; \; \; 0 < x < 1 \; ; \; t>0\)

    \(\displaystyle u(x, 0) = f_1(x) \; \; ; \; \; \frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = f_2(x) \)

    \(\displaystyle u(0, t) = f_3(x) \; \; ; \; \; \frac{\partial u}{\partial x}(1, t) = f_4(t) \)
en un problema de condiciones de contorno homogéneas.

- Respuesta 05


Debido a la derivada en la segunda condición de contorno, una posible función v(x, t) sería:
    \( \displaystyle w(x, t) = \frac{x^2}{2}f_4(t) + \left (1 - \frac{1}{2}x \right ) e^x f_3(t) \)
pues tenemos:
    \(\displaystyle\begin{array}{l}
    v(0,t) = f_3(t) \; \; ; \; \; \frac{\partial v}{\partial x} = x·f_4(t) + \frac{1}{2}(1-x)e^x · f_3(t)\; \; \Rightarrow \\
     \\
    \Rightarrow \frac{\partial v}{\partial x}(1, t) = f_4(t)
    \end{array} \)
La sustitución :
    \(w(x, t) = u(x, t) - v(x, t)\)
nos da los cambios en la ecuación diferencial. Existen otras posibles funciones v(x, t) que también transformarían las condiciones de contorno.
EJERCICIOS-ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
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tema escrito por: José Antonio Hervás