PROBLEMAS RESUELTOS DE CÁLCULO VECTORIAL
teoría de campos, cursores, gradiente, rotacional, divergencia

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Ejercicios de Calculo vectorial

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Ejercicios de cálculo vectorial - Respuesta del ejemplo 23

Para que un vector sea irrotacional se debe cumplir rot V = 0 Y tenemos:
    \( \displaystyle rot \; \vec{V} = \left( \frac{\partial V_z}{\partial y} - \frac{\partial V_y}{\partial z}\right) \hat{i}+ \left( \frac{\partial V_x}{\partial z} - \frac{\partial V_z}{\partial x}\right) \hat{j} + \left( \frac{\partial V_y}{\partial x} - \frac{\partial V_x}{\partial y}\right) \hat{k} \)
    \( = (c+1) \hat{i}+ (a-4) \hat{j} + (b-2) \hat{k} = 0 \)
Si rot V es nula lo será cada una de las componentes y tendremos:
c+1=0 ; b-2=0 ; a-4=0 → c = -1 ; a = 4 ; b = 2
Con lo que el vector V se podrá escribir:
    \( \overrightarrow{V}= (x+2y+4z) \hat{i}+ (2x-3y-z) \hat{j} + (4x-y+2z) \hat{k} = 0 \)
y si es el gradiente de una función :
    \(\displaystyle \overrightarrow{V} = - \overrightarrow{\nabla}\phi = \frac{\partial\phi}{\partial x} \hat{i}+ \frac{\partial\phi}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial\phi}{\partial z} \hat{k}\)
donde para cada derivada tendremos:
    \(\displaystyle \frac{\partial\phi}{\partial x} = - x - 2y - 4z \; \; ; \; \; \frac{\partial\phi}{\partial y} = - 2·x + 3y + z \; \; ; \; \; \frac{\partial\phi}{\partial z} = - 4x + y - 2z \)
Integrando para la primera de las expresiones:
    \( \displaystyle \phi = \int (-x - 2y - 4z)dx + \varphi(z, y) = \frac{1}{2}x^2 - 2x·y - 4x·z + \varphi(z, y) \)
y derivando esta última respecto de las otras variables:
    \( \displaystyle \frac{\partial\phi}{\partial y} = -2x + 3y + z = - 2x + \varphi_y^'(y, z) \; \; \Rightarrow \; \; \varphi_y^'(y, z) = 3y + z = \frac{\partial\varphi}{\partial y} \)

    \( \displaystyle \frac{\partial\phi}{\partial z} = -4x + y - 2z = - 4x + \varphi_z^'(y, z) \; \; \Rightarrow \; \; \varphi_z^'(y, z) = y - 2 z = \frac{\partial\varphi}{\partial z} \)
Para calcular la función incógnita, integramos respecto de la variable y :
    \( \displaystyle \varphi = \int (3y + z)dy + \Psi(z) = - \frac{3}{2}y^2 + z·y + \Psi(z) \)
Con lo que resulta:
    \( \displaystyle y + \Psi'(z) = y - 2z \; \; \Rightarrow \; \; \Psi'(z) = - 2z \; \; \Rightarrow \; \; \Psi(z) = - z^2 + Cte \)
Por todo ello, la función buscada tendrá la forma:
    \( \displaystyle \phi = - \frac{1}{2}·x^2 + \frac{3}{2}·y^2 - z^2 - 2x·y - 4x·z + y·z + Cte \)
Ejercicios resueltos de cálculo vectorial y teoría de campos


tema escrito por: José Antonio Hervás