Ejercicios de cálculo vectorial - Respuesta del ejemplo 23

Para que un vector sea irrotacional se debe cumplir rot V = 0 Y tenemos:

\( \displaystyle rot \; \vec{V} = \left( \frac{\partial V_z}{\partial y} - \frac{\partial V_y}{\partial z}\right) \hat{i}+ \left( \frac{\partial V_x}{\partial z} - \frac{\partial V_z}{\partial x}\right) \hat{j} + \left( \frac{\partial V_y}{\partial x} - \frac{\partial V_x}{\partial y}\right) \hat{k} \)

\( = (c+1) \hat{i}+ (a-4) \hat{j} + (b-2) \hat{k} = 0 \)

Si rot V es nula lo será cada una de las componentes y tendremos:

c+1=0 ; b-2=0 ; a-4=0 → c = -1 ; a = 4 ; b = 2

Con lo que el vector V se podrá escribir:

\( \overrightarrow{V}= (x+2y+4z) \hat{i}+ (2x-3y-z) \hat{j} + (4x-y+2z) \hat{k} = 0 \)

y si es el gradiente de una función :

\(\displaystyle \overrightarrow{V} = - \overrightarrow{\nabla}\phi = \frac{\partial\phi}{\partial x} \hat{i}+ \frac{\partial\phi}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial\phi}{\partial z} \hat{k}\)

donde para cada derivada tendremos:

\(\displaystyle \frac{\partial\phi}{\partial x} = - x - 2y - 4z \quad ; \quad \frac{\partial\phi}{\partial y} = - 2·x + 3y + z \quad ; \quad \frac{\partial\phi}{\partial z} = - 4x + y - 2z \)

Integrando para la primera de las expresiones:

\( \displaystyle \phi = \int (-x - 2y - 4z)dx + \varphi(z, y) = \frac{1}{2}x^2 - 2x·y - 4x·z + \varphi(z, y) \)

y derivando esta última respecto de las otras variables:

\( \displaystyle \frac{\partial\phi}{\partial y} = -2x + 3y + z = - 2x + \varphi_y^'(y, z) \quad \Rightarrow \quad \varphi_y^'(y, z) = 3y + z = \frac{\partial\varphi}{\partial y} \)

\( \displaystyle \frac{\partial\phi}{\partial z} = -4x + y - 2z = - 4x + \varphi_z^'(y, z) \quad \Rightarrow \quad \varphi_z^'(y, z) = y - 2 z = \frac{\partial\varphi}{\partial z} \)

Para calcular la función incógnita, integramos respecto de la variable y :

\( \displaystyle \varphi = \int (3y + z)dy + \Psi(z) = - \frac{3}{2}y^2 + z·y + \Psi(z) \)

Con lo que resulta:

\( \displaystyle y + \Psi'(z) = y - 2z \quad \Rightarrow \quad \Psi'(z) = - 2z \quad \Rightarrow \quad \Psi(z) = - z^2 + Cte \)

Por todo ello, la función buscada tendrá la forma:

\( \displaystyle \phi = - \frac{1}{2}·x^2 + \frac{3}{2}·y^2 - z^2 - 2x·y - 4x·z + y·z + Cte \)