Ejercicios de cálculo vectorial - Respuesta del ejemplo 25

Para ver si el campo es conservativo, calculamos el rotacional de F

\( \displaystyle rot \; \vec{F} = \overrightarrow{\nabla}\wedge \overrightarrow{F} =\left|
\begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
\frac{\partial}{\partial x }& \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
F _x& F_y & F_z \\
\end{array}
\right| = \left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \hat{i} + \left( \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) \hat{j} \cdots \)

\( \displaystyle + \left( \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) \hat{k} = (0 - 0)\hat{i} + (3z^2 - 3z^2)\hat{j} + (2y· \cos x - 2y· \cos x)\hat{k} = 0 \)

Al ser el campo conservativo, para calcular el trabajo desarrollado debemos obtener la función potencial. Tenemos:

\( \displaystyle F = Grad \; \phi \quad \Rightarrow \quad \int\frac{\partial\phi}{\partial x}·dx = \int (y^2\cos x + z^3)dx = y^2\sin x + z^3x + \varphi(y, z) \)

Comprobamos si la función φ depende de las otras dos variables. Primero derivamos respecto de y la función potencial obtenida y la igualamos a F_y:

\( \displaystyle \frac{\partial\phi}{\partial y} = 2y·\sin x + \frac{\partial\varphi}{\partial y}= 2y·\sin x - y \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial\varphi}{\partial y}= - y \quad \Rightarrow \quad \int\frac{\partial\varphi}{\partial y}·dy = - \frac{1}{2}y^2 \)

La función φ si depende de la variable y; veamos si depende también de la variable z:

\( \displaystyle \frac{\partial\phi}{\partial z} = 3z^2x + \frac{\partial\varphi}{\partial z}= 3z^2x \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial\varphi}{\partial z} = 0 \)

Como no depende de z, finalmente tendremos para la función potencial:

\( \phi(x, y, z) = y^2·\sin x + xz^3 - \frac{1}{2}·y^2 + K \)

Y el trabajo entregado por el campo valdrá: W = Φ (Q) - Φ (P) = 187,25 unidades