PROBLEMAS RESUELTOS DE CÁLCULO VECTORIAL
teoría de campos, cursores, gradiente, rotacional, divergencia

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Ejercicios de Calculo vectorial

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Ejercicios de cálculo vectorial - Respuesta del ejemplo 25

Para ver si el campo es conservativo, calculamos el rotacional de F
    \( \displaystyle rot \; \vec{F} = \overrightarrow{\nabla}\wedge \overrightarrow{F} =\left|
    \begin{array}{ccc}
    \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
    \frac{\partial}{\partial x }& \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
    F _x& F_y & F_z \\
    \end{array}
    \right| = \left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \hat{i} + \left( \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) \hat{j} \)

    \( \displaystyle + \left( \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) \hat{k} = (0 - 0)\hat{i} + (3z^2 - 3z^2)\hat{j} + (2y \cos x - 2y \cos x)\hat{k} = 0 \)
Al ser el campo conservativo, para calcular el trabajo desarrollado debemos obtener la función potencial. Tenemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    F = Grad \; \phi \; \; \Rightarrow \; \; \int\frac{\partial\phi}{\partial x}·dx = \\
     \\
    = \int (y^2\cos x + z^3)dx = y^2\sin x + z^3x + \varphi(y, z)
    \end{array}\)
Comprobamos si la función φ depende de las otras dos variables. Primero derivamos respecto de y la función potencial obtenida y la igualamos a Fy:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{\partial\phi}{\partial y} = 2y\sin x + \frac{\partial\varphi}{\partial y}= 2y\sin x - y \; \; \Rightarrow \; \; \frac{\partial\varphi}{\partial y}= - y \; \; \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow \; \; \int\frac{\partial\varphi}{\partial y}dy = - \frac{1}{2}y^2 \end{array} \)
La función φ si depende de la variable y; veamos si depende también de la variable z:
    \( \displaystyle \frac{\partial\phi}{\partial z} = 3z^2x + \frac{\partial\varphi}{\partial z}= 3z^2x \; \; \Rightarrow \; \; \frac{\partial\varphi}{\partial z} = 0 \)
Como no depende de z, finalmente tendremos para la función potencial:
    \( \phi(x, y, z) = y^2\sin x + xz^3 - \frac{1}{2}y^2 + K \)
Y el trabajo entregado por el campo valdrá: W = Φ (Q) - Φ (P) = 187,25 unidades
Ejercicios resueltos de cálculo vectorial y teoría de campos


tema escrito por: José Antonio Hervás