Ejercicios de cálculo vectorial - Respuesta del ejemplo 30

Podemos observar con facilidad que la matriz es simétrica puesto que sus elementos cumplen:

\( a_{ij} = a_{ji} \)

Así pues, todos los valores propios serán reales. Para calcularlos escribimos la ecuación secular:

\( |A-\lambda\cdot I| = 0 \quad \rightarrow \quad \begin{vmatrix} 1-\lambda & 1 & 0 \\ 1 & -\lambda & 1 \\ 0 & 1 & 1-\lambda \end{vmatrix} = (1 - \lambda)[-\lambda(1-\lambda)-2] = 0 \)

Que resuelta nos da:

\( \lambda_1 = 1 \quad ; \quad \lambda_2 = 2 \quad ; \quad \lambda_3 = -1 \)

Una vez obtenidos los valores propios (autovalores), podemos calcular los vectores propios (autovectores). Para ello debemos resolver la ecuación matricial:

\( (A-\lambda_i \cdot I)R = 0 \)

Para cada uno de los valores propios obtenidos.
Cuando λ = 1 podemos poner:

\( \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 0 \qquad \left\{ \begin{array}{l} x_2 = 0 \\ x_1 - x_2 + x_3 = 0\\x_2 = 0 \end{array}\right\} \quad x_1 = - x_3 \quad ; \quad x_2 = 0\)

Con lo que un vector propio será: (1, 0, -1).
Haciendo de igual modo para el segundo autovalor, obtenemos las ecuaciones:

\( \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 0 \qquad \left\{ \begin{array}{l} x_2 - x_1 = 0 \\ x_1 - 2x_2 + x_3 = 0\\x_2 - x_3 = 0 \end{array}\right\} \quad x_1 = x_2 = x_3 \)

Con lo que un vector propio será: (1, 1, 1)
Y, por último, para el tercer autovalor:

\( \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 0 \qquad \left\{ \begin{array}{l} 2x_1 + x_2 = 0 \\ x_1 + x_2 + x_3 = 0\\x_2 + 2x_3 = 0 \end{array}\right\} \quad x_1 = x_3 = - \frac{1}{2}\cdot x_2\)

Y un vector propio asociado será: (2, -1, 2)

Si expresamos la matriz asociada al tensor en forma diagonal, tendremos la forma que este adquiere al referirlo a las direcciones principales:

\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \)