PROBLEMAS RESUELTOS DE CÁLCULO VECTORIAL
teoría de campos, cursores, gradiente, rotacional, divergencia

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Ejercicios de Calculo vectorial

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Ejercicios de cálculo vectorial - Respuesta del ejemplo 30

Podemos observar con facilidad que la matriz es simétrica puesto que sus elementos cumplen:
    \( a_{ij} = a_{ji} \)
Así pues, todos los valores propios serán reales. Para calcularlos escribimos la ecuación secular:
    \( |A-\lambda· I| = 0 \; \; \rightarrow \; \; \begin{vmatrix} 1-\lambda & 1 & 0 \\ 1 & -\lambda & 1 \\ 0 & 1 & 1-\lambda \end{vmatrix} = (1 - \lambda)[-\lambda(1-\lambda)-2] = 0 \)
Que resuelta nos da:
    \( \lambda_1 = 1 \; \; ; \; \; \lambda_2 = 2 \; \; ; \; \; \lambda_3 = -1 \)
Una vez obtenidos los valores propios (autovalores), podemos calcular los vectores propios (autovectores). Para ello debemos resolver la ecuación matricial:
    \( (A-\lambda_i · I)R = 0 \)
Para cada uno de los valores propios obtenidos.
Cuando λ = 1 podemos poner:
    \( \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 0 \; \; \; \left\{ \begin{array}{l} x_2 = 0 \\ x_1 - x_2 + x_3 = 0\\x_2 = 0 \end{array}\right\} \; \; x_1 = - x_3 \; \; ; \; \; x_2 = 0\)
Con lo que un vector propio será: (1, 0, -1).
Haciendo de igual modo para el segundo autovalor, obtenemos las ecuaciones:
    \( \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 0 \; \; \; \left\{ \begin{array}{l} x_2 - x_1 = 0 \\ x_1 - 2x_2 + x_3 = 0\\x_2 - x_3 = 0 \end{array}\right\} \; \; x_1 = x_2 = x_3 \)
Con lo que un vector propio será: (1, 1, 1)
Y, por último, para el tercer autovalor:
    \( \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 0 \; \; \; \left\{ \begin{array}{l} 2x_1 + x_2 = 0 \\ x_1 + x_2 + x_3 = 0\\x_2 + 2x_3 = 0 \end{array}\right\} \; \; x_1 = x_3 = - \frac{1}{2}· x_2\)
Y un vector propio asociado será: (2, -1, 2)

Si expresamos la matriz asociada al tensor en forma diagonal, tendremos la forma que este adquiere al referirlo a las direcciones principales:
    \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \)
Ejercicios resueltos de cálculo vectorial y teoría de campos


tema escrito por: José Antonio Hervás