Ejercicios de cálculo vectorial - Respuesta del ejemplo 22
Demostraremos que la integral curvilínea definida por la expresión \(\oint\limits_{T}\vec{A}· \overrightarrow{dr} \; \) es nula, siendo T una curva cerrada cualquiera. Por el teorema de Stokes podemos escribir:

\(\displaystyle\oint\limits_{T}\vec{A}· \overrightarrow{dr} = \iint _{S} rot \;\vec{A}· \overrightarrow{dS} \)

Calculamos rot A :

\( \displaystyle rot \; \vec{A} = \left( \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z}\right) \hat{i}+ \left( \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x}\right) \hat{j} + \left( \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}\right) \hat{k} \)

\( = (0-0) \hat{i}+ (-6x^2z + 6x^2z) \hat{j} + (4x-4x) \hat{k}\)

Puesto que rot A es idénticamente nulo, por el teorema de Stokes resultará \(\oint\limits_{T}\vec{A}· \overrightarrow{dr} = 0 \; \)

Considerando la figura adjunta, tenemos que :

\( \displaystyle \oint\limits_{T}\vec{A}· \overrightarrow{dr} = 0 = \int \limits_{C_1P}^{Q} \vec{A}· \overrightarrow{dr} + \int \limits_{C_2Q}^{P} \vec{A}· \overrightarrow{dr} = \int \limits_{C_1P}^{Q} \vec{A}· \overrightarrow{dr} - \int \limits_{C_2P}^{Q} \vec{A}· \overrightarrow{dr} \)

y pasando el segundo término a la derecha:

\( \displaystyle \int \limits_{C_1P}^{Q} \vec{A}· \overrightarrow{dr} = \int \limits_{C_2P}^{Q} \vec{A}· \overrightarrow{dr} \)

y esto implica que la integral es independiente del camino elegido.
Para hallar la función f hacemos:

\(\displaystyle \overrightarrow{A} = - \overrightarrow{\nabla}\phi = \frac{\partial\phi}{\partial x} \hat{i}+ \frac{\partial\phi}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial\phi}{\partial z} \hat{k}\)

y según el enunciado tenemos:

\(\displaystyle \frac{\partial\phi}{\partial x} = - 4·x·y + 3·x^2z^2 \quad ; \quad \frac{\partial\phi}{\partial y} = - 2·x^2 \quad ; \quad \frac{\partial\phi}{\partial z} = 2·x^3z \)

Integrando la primera expresión tenemos:

\(\displaystyle \left. \begin{array}{ll} - 2·x^2 = - 2·x^2 + \frac{\partial\Psi}{\partial y} \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial\Psi}{\partial y} = 0 \\ 2·x^3z = 2·x^3z + \frac{\partial\Psi}{\partial z} \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial\Psi} {\partial z} = 0 \end{array} \right\} \quad \Rightarrow \quad \Psi = Cte \)

Así pues, finalmente podemos escribir:

\( \phi = -2·x^2y + x^3z^2 + Cte \)