PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMATICAS
ejercicios resueltos de cálculo vectorial
teoría de campos, cursores, gradiente, rotacional, divergencia

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Ejercicios de Cálculo vectorial

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Ejercicios de cálculo vectorial

Demostrar que la traza de una matriz es invariante respecto de las transformaciones ortogonales de semejanza.

- Respuesta del ejemplo 28


Se define la traza de una matriz como la suma de los elementos de su diagonal principal. Por lo tanto, en una transformación de semejanza, expresada por la relación:
    \(A' = B A B^{-1}\)
Se debe tener:
    \( tr \; A = a_{ii} = a'_{jj} = tr \; A' \)
Un elemento cualquiera de la matriz A’ viene dado por:
    \(a'_{je} = b_{jk} a_{ki} b_{ie}^{-1}\)
Y considerando que la matriz inversa de una matriz ortogonal coincide con su traspuesta, se tiene:
    \(a'_{je} = b_{jk} a_{ki} b_{ie} = b_{jk} b_{ie} a_{ki} \)
Sustituyendo e por j para expresar la suma de los elementos de la diagonal principal:
    \(a'_{jj} = b_{jk} b_{ji} a_{ki} = \delta_{ji} a_{ki}\)
Y como se tiene:
    \(\delta_{ki} = 0 \; \; \; si \; \; \; k \neq i \)
Nos queda finalmente:
    \( a'_{jj} = a_{ii}\)
Como queríamos demostrar.
Ejercicios resueltos de cálculo vectorial y teoría de campos
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tema escrito por: José Antonio Hervás