Ejercicios de cálculo vectorial - Respuesta del ejemplo 28

Se define la traza de una matriz como la suma de los elementos de su diagonal principal. Por lo tanto, en una transformación de semejanza, expresada por la relación:

\(A' = B \cdot A \cdot B^{-1}\)

Se debe tener:

\( tr \; A = a_{ii} = a'_{jj} = tr \; A' \)

Un elemento cualquiera de la matriz A’ viene dado por:

\(a'_{je} = b_{jk} \cdot a_{ki} \cdot b_{ie}^{-1}\)

Y considerando que la matriz inversa de una matriz ortogonal coincide con su traspuesta, se tiene:

\(a'_{je} = b_{jk} \cdot a_{ki} \cdot b_{ie} = b_{jk}\cdot b_{ie}\cdot a_{ki} \)

Sustituyendo e por j para expresar la suma de los elementos de la diagonal principal:

\(a'_{jj} = b_{jk} \cdot b_{ji} \cdot a_{ki} = \delta_{ji} \cdot a_{ki}\)

Y como se tiene:

\(\delta_{ki} = 0 \qquad si \qquad k \neq i \)

Nos queda finalmente:

\( a'_{jj} = a_{ii}\)

Como queríamos demostrar.