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Ejercicios de cálculo vectorial
Demostrar que la traza de una matriz es invariante respecto de
las transformaciones ortogonales de semejanza.
- Respuesta del
ejemplo 28
Se define la traza de una matriz como la suma de los elementos
de su diagonal principal. Por lo tanto, en una transformación
de semejanza, expresada por la relación:
Se debe tener:
\( tr \; A = a_{ii} = a'_{jj} = tr \; A' \)
Un elemento cualquiera de la matriz A’ viene dado por:
\(a'_{je} = b_{jk} ˇ a_{ki} ˇ b_{ie}^{-1}\)
Y considerando que la matriz inversa de una matriz ortogonal coincide
con su traspuesta, se tiene:
\(a'_{je} = b_{jk} ˇ a_{ki} ˇ b_{ie} = b_{jk}ˇ b_{ie}ˇ a_{ki} \)
Sustituyendo e por j para expresar la suma de los elementos de
la diagonal principal:
\(a'_{jj} = b_{jk} ˇ b_{ji} ˇ a_{ki} = \delta_{ji} ˇ
a_{ki}\)
Y como se tiene:
\(\delta_{ki} = 0 \; \; \; si \; \; \; k \neq i \)
Nos queda finalmente:
Como queríamos demostrar.
Ejercicios
resueltos de cálculo vectorial y teoría de campos
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