PROBLEMAS RESUELTOS DE CÁLCULO VECTORIAL
teoría de campos, cursores, gradiente, rotacional, divergencia

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Ejercicios de Calculo vectorial

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Ejercicios de cálculo vectorial - Respuesta del ejemplo 28

Se define la traza de una matriz como la suma de los elementos de su diagonal principal. Por lo tanto, en una transformación de semejanza, expresada por la relación:
    \(A' = B A B^{-1}\)
Se debe tener:
    \( tr \; A = a_{ii} = a'_{jj} = tr \; A' \)
Un elemento cualquiera de la matriz A’ viene dado por:
    \(a'_{je} = b_{jk} a_{ki} b_{ie}^{-1}\)
Y considerando que la matriz inversa de una matriz ortogonal coincide con su traspuesta, se tiene:
    \(a'_{je} = b_{jk} a_{ki} b_{ie} = b_{jk} b_{ie} a_{ki} \)
Sustituyendo e por j para expresar la suma de los elementos de la diagonal principal:
    \(a'_{jj} = b_{jk} b_{ji} a_{ki} = \delta_{ji} a_{ki}\)
Y como se tiene:
    \(\delta_{ki} = 0 \; \; \; si \; \; \; k \neq i \)
Nos queda finalmente:
    \( a'_{jj} = a_{ii}\)
Como queríamos demostrar.
Ejercicios resueltos de cálculo vectorial y teoría de campos


tema escrito por: José Antonio Hervás