Ejercicios de cálculo vectorial

Demostrar que la traza de una matriz es invariante respecto de las transformaciones ortogonales de semejanza.

- Respuesta del ejemplo 28

Se define la traza de una matriz como la suma de los elementos de su diagonal principal. Por lo tanto, en una transformación de semejanza, expresada por la relación:

\(A' = B · A · B^{-1}\)

Se debe tener:

\( tr \; A = a_{ii} = a'_{jj} = tr \; A' \)

Un elemento cualquiera de la matriz A’ viene dado por:

\(a'_{je} = b_{jk} · a_{ki} · b_{ie}^{-1}\)

Y considerando que la matriz inversa de una matriz ortogonal coincide con su traspuesta, se tiene:

\(a'_{je} = b_{jk} · a_{ki} · b_{ie} = b_{jk}· b_{ie}· a_{ki} \)

Sustituyendo e por j para expresar la suma de los elementos de la diagonal principal:

\(a'_{jj} = b_{jk} · b_{ji} · a_{ki} = \delta_{ji} · a_{ki}\)

Y como se tiene:

\(\delta_{ki} = 0 \; \; \; si \; \; \; k \neq i \)

Nos queda finalmente:

\( a'_{jj} = a_{ii}\)

Como queríamos demostrar.