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DE MATEMATICAS
ejercicios resueltos de cálculo vectorial
teoría de campos, cursores, gradiente, rotacional, divergencia

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Ejercicios de Cálculo vectorial

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Ejercicios de cálculo vectorial

Demostrar que en cada punto P, el vector:
    \( \overrightarrow{grad \; \phi} =\displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial \phi}{\partial y}\hat{j}+ \frac{\partial \phi}{\partial z}\hat{k}\)
Es perpendicular a la superficie de nivel Ø que pasa por dicho punto.
Como aplicación del resultado anterior, obtener un vector normal unitario a la superficie:
    \(\phi(x, y, z) = x^2 + 2y^2 - x\cos yz\)
en el punto (3, -2, 0).

- Respuesta del ejemplo 26


Sean \( (x_0, y_0, z_0) \; \) las coordenadas del punto P y
    \( \phi(x, y, z) = C \; \; \; (1) \; \)
La superficie de nivel que pasa por dicho punto. Consideremos un punto cualquiera, Q, próximo a P y de coordenadas:
    \( (x_0 + dx, y_0 + dy, z_0 + dy)\; \)
Situado en el plano tangente a Ø(x,y,z) en P.
Podemos diferenciar la ecuación (1) para obtener:
    \( \displaystyle d\phi = \frac{\partial \phi}{\partial x}dx + \frac{\partial \phi}{\partial y}dy + \frac{\partial \phi}{\partial z}dz = 0\)
Lo que nos indica que el vector gradiente es perpendicular al vector:
    \( PQ = dx\hat{i} + dy\hat{j} + dz\hat{k} \)
Pero como Q es un punto arbitrario del plano tangente a la superficie dada, resulta que el vector grad Ø es perpendicular a la superficie de nivel.
Para resolver el ejemplo práctico planteado, hacemos:
    \( grad \; \phi = (2x - \cos yz)\hat{i} + (2z + xz\sin yz)\hat{j} + (2y + \sin yz)\hat{k} \)
Que en el punto P(3, -2, 0) vale:
    \( grad \; \phi|_P = (6 - 1)\hat{i} + (0 + 0)\hat{j} + (-4 + 0)\hat{k} = 5\hat{i} -4\hat{k} \)
Y un vector unitario se obtiene multiplicando las coordenadas del vector obtenido por el inverso de su módulo:
    \( \displaystyle \hat{n} = \frac{grad \; \phi|_P}{\left| grad \; \phi|_P \right|} = \frac{1}{\sqrt{5^2 + (-4)^2}}(5\hat{i} - 4\hat{k}) = \frac{5}{\sqrt{41}}\vec{i}- \frac{4}{\sqrt{41}}\vec{k}\)
Ejercicios resueltos de cálculo vectorial y teoría de campos
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tema escrito por: José Antonio Hervás