Ejercicios de cálculo vectorial - Respuesta del ejemplo 26

Sean \( (x_0, y_0, z_0) \; \) las coordenadas del punto P y

\( \phi(x, y, z) = C \qquad (1) \; \)

La superficie de nivel que pasa por dicho punto. Consideremos un punto cualquiera, Q, próximo a P y de coordenadas:

\( (x_0 + dx, y_0 + dy, z_0 + dy)\; \)

Situado en el plano tangente a Ø(x,y,z) en P.
Podemos diferenciar la ecuación (1) para obtener:

\( \displaystyle d\phi = \frac{\partial \phi}{\partial x}dx + \frac{\partial \phi}{\partial y}dy + \frac{\partial \phi}{\partial z}dz = 0\)

Lo que nos indica que el vector gradiente es perpendicular al vector:

\( PQ = dx·\hat{i} + dy·\hat{j} + dz·\hat{k} \)

Pero como Q es un punto arbitrario del plano tangente a la superficie dada, resulta que el vector grad Ø es perpendicular a la superficie de nivel.
Para resolver el ejemplo práctico planteado, hacemos:

\( grad \; \phi = (2x - \cos yz)\hat{i} + (2z + xz·\sin yz)\hat{j} + (2y + \sin yz)\hat{k} \)

Que en el punto P(3, -2, 0) vale:

\( grad \; \phi|_P = (6 - 1)\hat{i} + (0 + 0)\hat{j} + (-4 + 0)\hat{k} = 5·\hat{i} -4·\hat{k} \)

Y un vector unitario se obtiene multiplicando las coordenadas del vector obtenido por el inverso de su módulo:

\( \displaystyle \hat{n} = \frac{grad \; \phi|_P}{\left| grad \; \phi|_P \right|} = \frac{1}{\sqrt{5^2 + (-4)^2}}(5·\hat{i} - 4·\hat{k}) = \frac{5}{\sqrt{41}}·\vec{i}- \frac{4}{\sqrt{41}}·\vec{k}\)